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Hella
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 09:19: | 
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Hallo,
Ich habe ein Problem mit einer unendlichen Reihe,
mit dem ich nicht allein fertig werde.
Wer kann mir helfen ?
Die Aufgabe lautet:
In welchen Punkten auf dem Rand des
Konvergenzkreises ist die Reihe
Summe [z ^ n / n ] , n = 0 bis n = unendlich
konvergent, in welchen ist sie divergent ?
Für jeden Lösungsansatz bin ich dankbar !
Hella
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 11:25: |
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Hi Hella,
Der Konvergenzradius r der von dir vorgelegten Reihe
lässt sich leicht berechnen.
Der Quotient der Koeffizienten u(n ) = 1/n und
u(n+1) = 1 / (n+1) ist u(n)/u(n+1) = (1 + 1/n)
und strebt mit n gegen unendlich gegen 1.
Somit gilt r = 1.
Zur Beantwortung Deiner Frage benützen wir einen
bekannten Hilfssatz :
Es liege die unendliche Reihe
sum (an * bn) vor (für n = 0 bis unendlich).
Die Folge der bn sei eine strikt monoton fallende Nullfolge,
d.h. es gilt b(n+1) < b(n) und lim b(n) = 0 für n gegen unendlich.
Die Teilsummenfolge s(n) = a(0)+ a(1)+a(2)+….+ a(n) ist beschränkt.
Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die gegebene Reihe.
Für die von Dir erwähnte Reihe gilt auf dem Rand des
Konvergenzkreises, also auf dem Einheitskreis der komplexen
Zahlenebene der z-Werte, folgendes:
Für z =1 herrscht Divergenz: es entsteht schlicht und einfach
die harmonische Reihe.
Gilt nun aber abs(z) = 1 und z verschieden von 1, so sind die
Voraussetzungen des oben erwähnten Lemmas erfüllt.
Für die Rollenverteilung setzen wir an:
an = z ^ n , bn = 1/n
Die Folge der bn ist tatsächlich eine streng monoton fallende
Nullfolge.
Für an ermitteln wir sn:
sn = 1 + z + z^2+ …+ z^n
Rechts steht eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied 1,
dem Quotienten z und der Gliederzahl (n+1).
Mit Hilfe elementarer Algebra schreiben wir dafür mit Hilfe
der Summenformel [{1 – z^(n+1)} / (1 – z )]
Für die Absolutbeträge erhalten wir
abs (sn) = abs [{1 – z^(n+1)} / (1 – z )]
abs [{1 – z^(n+1)}] kann in der Gauss´schen Zahlenebene
geometrisch gedeutet werden als Abstand der beiden
Punkte z1 = 1 und z2 = z^(n+1)
Der Punkt z2 liegt auf dem Einheitskreis.
Daher ist dieser Abstand höchstens 2 .
Wir stellen fest: sn ist nach oben beschränkt:
abs (sn) < = 2 / abs(1-z) , damit sind alle Voraussetzung,
welche das Lemma verlangt für abs (z) = 1 und z nicht 1
erfüllt, und die Konvergenz für solche Punkte ist damit
nachgewiesen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H,R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juni, 2002 - 07:43: |
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Hi Hella,
Bei dieser Gelegenheit möchte ich eine Variante Deiner
Aufgabe erwähnen.
Die Frage lautet:
In welchen Punkten ihres Konvergenzkreises konvergiert
die folgende Reihe, in welchen Punkten desselben Kreises
divergiert sie ?
Die Reihe lautet:
z^6 / 1 + z^12 / 2 + z^18 / 3 + z^24 / 4 + z ^30 /5 + .........
Lösung
Substituiert man z^6 = Z , so entsteht eine Reihe, welche mit
dem Bildungsgesetz Deiner Reihe vollständig übereinstimmt.
Die Reihe in Z lautet
Z / 1 + Z^2 / 2 + Z^3 / 3 + Z^4 / 4 + Z^5 / 5 + .................
Der Konvergenzradius R dieser Reihe ist R = 1;
Die gegebene Reihe hat denselben Konvergenzraduus r = R =1.
Der Punkt Z = 1 ist, wie wir gezeigt haben, der einzige Punkt
auf dem Konvergenzkreis der Z-Reihe mit Divergenz.
Ihm entsprechen wegen z^6 = 1 auf dem Konvergenzkreis
der neuen Reihe sechs Punkte z1,z2,..., z6 mit Divergenz
Diese 6 Punkte sind als 6-te Einheitswurzeln die Ecken
eines regulären Sechsecks, wobei z1 = 1 gilt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Hella
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juni, 2002 - 14:36: |
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Hallo H.R.Moser, megamath
Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort !
Hella
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