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Hella
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 18:19: |
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Hallo, Ich habe ein Problem mit einer unendlichen Reihe, mit dem ich nicht allein fertig werde. Wer kann mir helfen ? Die Aufgabe lautet: In welchen Punkten auf dem Rand des Konvergenzkreises ist die Reihe Summe [z ^ n / n ] , n = 0 bis n = unendlich konvergent, in welchen ist sie divergent ? Für jeden Lösungsansatz bin ich dankbar ! Hella
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matrixgirl (matrixgirl)
Junior Mitglied Benutzername: matrixgirl
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 21:02: |
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Hi Hella, hab Dein Problem in nem Buch gefunden (Königsberger, Analysis 1) Kann hier leider nur das aufschreiben, was da drin steht, aber vielleicht hilft Dir das ja auch schon weiter: Die Reihe divergiert für z=1 und konvergiert für alle anderen z. Der Beweis dazu soll nach folgendem Muster gehen vielleicht ist das auch schon der eigentliche Beweis -keine Ahnung-) s{m;n}:= (1-z]*sum[v=n....m]a{v}s^v =a{n}z^n + sum[v=n+1....m](a{v}- a{v}- 1)*z^v - a{m}*z^m+1 Dies läßt sich für |z|=<1 wegen a{v-1}>= a{v} wie folgt abschätzen: |s{m;n}|=< a{n} + a{m} + sum[v=n+1....m](a{v}- a{v}- 1) = 2a{n} Zu jedem epsilon (ich schreib jetzt dafür e) > 0 gibt es N so, daß |2a{n}|<e für n>=N. Für m>=n>=N ist dann |s{m;n}|<e . Nach dem Cauchy- Kriterium konvergiert sum[v](1-z)a{v}z^v und somit für z ungleich 1 auch sum[v]a{v}z^v Das was in den geschweiften Klammern steht bezeichnet jeweils den Index. Ich hoffe, Dir hat das geholfen..... so ganz blick ich da selbst nicht durch. mfg |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 11:28: |
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Hi Hella, Der Konvergenzradius r der von dir vorgelegten Reihe lässt sich leicht berechnen. Der Quotient der Koeffizienten u(n ) = 1/n und u(n+1) = 1 / (n+1) ist u(n)/u(n+1) = (1 + 1/n) und strebt mit n gegen unendlich gegen 1. Somit gilt r = 1. Zur Beantwortung Deiner Frage benützen wir einen bekannten Hilfssatz : Es liege die unendliche Reihe sum (an * bn) vor (für n = 0 bis unendlich). Die Folge der bn sei eine strikt monoton fallende Nullfolge, d.h. es gilt b(n+1) < b(n) und lim b(n) = 0 für n gegen unendlich. Die Teilsummenfolge s(n) = a(0)+ a(1)+a(2)+….+ a(n) ist beschränkt. Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die gegebene Reihe. Für die von Dir erwähnte Reihe gilt auf dem Rand des Konvergenzkreises, also auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene der z-Werte, folgendes: Für z =1 herrscht Divergenz: es entsteht schlicht und einfach die harmonische Reihe. Gilt nun aber abs(z) = 1 und z verschieden von 1, so sind die Voraussetzungen des oben erwähnten Lemmas erfüllt. Für die Rollenverteilung setzen wir an: an = z ^ n , bn = 1/n Die Folge der bn ist tatsächlich eine streng monoton fallende Nullfolge. Für an ermitteln wir sn: sn = 1 + z + z^2+ …+ z^n Rechts steht eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied 1, dem Quotienten z und der Gliederzahl (n+1). Mit Hilfe elementarer Algebra schreiben wir dafür mit Hilfe der Summenformel [{1 – z^(n+1)} / (1 – z )] Für die Absolutbeträge erhalten wir abs (sn) = abs [{1 – z^(n+1)} / (1 – z )] abs [{1 – z^(n+1)}] kann in der Gauss´schen Zahlenebene geometrisch gedeutet werden als Abstand der beiden Punkte z1 = 1 und z2 = z^(n+1) Der Punkt z2 liegt auf dem Einheitskreis. Daher ist dieser Abstand höchstens 2 . Wir stellen fest: sn ist nach oben beschränkt: abs (sn) < = 2 / abs(1-z) , damit sind alle Voraussetzung, welche das Lemma verlangt für abs (z) = 1 und z nicht 1 erfüllt, und die Konvergenz für solche Punkte ist damit nachgewiesen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juni, 2002 - 07:40: |
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Hi Hella, Bei dieser Gelegenheit möchte ich eine Variante Deiner Aufgabe erwähnen. Die Frage lautet: In welchen Punkten ihres Konvergenzkreises konvergiert die folgende Reihe, in welchen Punkten desselben Kreises divergiert sie ? Die Reihe lautet: z^6 / 1 + z^12 / 2 + z^18 / 3 + z^24 / 4 + z ^30 /5 + ......... Lösung Substituiert man z^6 = Z , so entsteht eine Reihe, welche mit dem Bildungsgesetz Deiner Reihe vollständig übereinstimmt. Die Reihe in Z lautet Z / 1 + Z^2 / 2 + Z^3 / 3 + Z^4 / 4 + Z^5 / 5 + ................. Der Konvergenzradius R dieser Reihe ist R = 1; Die gegebene Reihe hat denselben Konvergenzraduus r = R =1. Der Punkt Z = 1 ist, wie wir gezeigt haben, der einzige Punkt auf dem Konvergenzkreis der Z-Reihe mit Divergenz. Ihm entsprechen wegen z^6 = 1 auf dem Konvergenzkreis der neuen Reihe sechs Punkte z1,z2,..., z6 mit Divergenz Diese 6 Punkte sind als 6-te Einheitswurzeln die Ecken eines regulären Sechsecks, wobei z1 = 1 gilt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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