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Beitrag |
    
Tiffany (t_l)
Mitglied
Benutzername: t_l
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 06:44: | 
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Hallo,
Ich habe ein erschreckend einfach aussehendes Problem, das mich aber richtig auf die Palme bringt:
In einer Urne seien unendlich viele Kugeln, jede n-te ist schwarz, die restlichen weiß. In einem Durchgang beginne ich nun, nacheinander Kugeln aus der Urne zu ziehen. Frage:
> Nach im Mittel wievielen Versuchen ziehe ich eine schwarze Kugel?
Klingt trivial, aber ich kenne einige Leute, die sagen es wären n Versuche, andere meinen n/2 Versuche. Wiederum andere meinen, beim ersten Durchgang n/2, bei allen weiteren n !
Was ist denn nun richtig?!
Tiffany |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 248
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 09:58: |
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Tiffany :
Die Anzahl der Versuche "bis zum ersten Erfolg" (schwarze Kugel) ist eine Zufallsvariable X. Die Wahrscheinlichkeit,
erstmalig beim k-ten Versuch Erfolg zu
haben (d.h.: k-1 mal weiss, beim k-ten mal
schwarz) ist
P(X=k ) = (1-1/n)^(k-1)*(1/n); k in IN.
Beachte, dass unendlich viele Kugeln vorhanden sind, die Erfolgswahrscheinlichkeit
also für jeden Zug dieselbe ist.
Gesucht ist nun der Erwartungswert
E(X) = sum[k=1...oo]k*P(X=k)
= (1/n)*sum[k=1...oo]k*(1-1/n)^(k-1).
Beachte, dass
sum[k=1...oo] k*q^(k-1) = 1/(1-q)^2 ; |q| < 1.
Daher
E(X) = n.
mfg
Orion |
Tiffany (t_l)
Mitglied
Benutzername: t_l
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 14:52: |
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Hm, was ist aber mit der folgenden Argumentation:
Ein idealisiertes Modell der Urne ist eine Urne mit n Kugeln (1 schwarze + (n-1) weisse).
Ziehe ich nun Kugeln aus der idealisierten Urne, erhalte ich im guenstigsten Falle im 1. Versuch die schwarze, im unguenstigsten erst im n. Versuch.
Im Mittel braeuchte ich also (n+1)/2 Versuche zum Erfolg.
Kann man diese Ueberlegung nicht durchaus anstellen?
Gruss,
Tiffany |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 250
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 21:05: |
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Tiffany :
Bei deinem idealisierten Urnenmodell
hat natürlich das Ziehen "mit Zurücklegen"
zu erfolgen. Das was du als "günstigsten"
Fall bezeichnest, hat die Wahrscheinlichkeit
P(X=1) = 1/n , der "ungünstgste " Fall
dagegen die kleinere Wahrscheinlichkeit P(X=n) = (1-1/n)^(n-1)*1/n. Man darf daher
nicht einfach die beiden Anzahlen mit
demselben Faktor 1/2 gewichten. Um den
Erwartungswert zu erhalten, hat man auch
die übrigen Ereignisse X=2,...,n-1 zu berücksichtigen.
Anders sieht es aus, wenn man Ziehen ohne
Zurücklegen betrachtet (was natürlich nicht der ursprünglichen Aufgabenstellung entspricht): Jetzt ist nämlich
P(X=k) =
((n-1)/n)*((n-1)/(n-2))*...*((n-k+1)/(n-k+2)*
*1/(n-k+1) = 1/n für k=1,2,...,n
Also
E(X) = (1+2+...+n)/n = (n+1)/2.
mfg
Orion
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