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Spiegelung einer Parabel am Einheitsk...

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Vroni
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 18:29:   Beitrag drucken

Hallo

Bei der folgenden Aufgabe finde ich keinen Zugang
zur Lösung..
Wer kann mit helfen ?
Dir Parabel y ^ 2 = 2 p x wird am Einheitskreis
x^2 + y^2 = 1 gespiegelt .
Wie lautet die Gleichung der Bildkurve;
welcher Kurventyp liegt vor ?
Für jeden Lösungsansatz bin ich sehr dankbar.

Vroni


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H.R.Moser,megameth
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 06:21:   Beitrag drucken


Hi Vroni,

Wir lösen die Aufgabe in der Gauss´schen Zahlenebene:
Urbild (Original) : Punkt P in der z-Ebene mit: z = x + i y
Bildpunkt P´ von P in der w-Ebene mit w = u + i v.
Mit z% sei die zu z konjugiert komplexe Zahl
z% = x – i y bezeichnet.

Als Vorbereitung spielen wir ein wenig mit z und z%
herum.
Es gilt :
z = x + i y
z% = x - i y , daraus
z + z% = 2 x oder x = ½ (z+z%)
z% - z = - 2 i y oder y = - 1 / (2i) (z% - z) = ½ i (z% - z)
Nun berechnen wir x^2, y^2 , x^2 + y^2, x^2 - y^2:
Ergebnisse
x^2 = ¼ ( z^2 + 2 z z% + z%^2 )
y^2 = - ¼ ( z^2 - 2 z z% + z%^2 )
x^2 + y ^2 = ¼ * 4 * z z% = z z%
x^2 - y ^2 = ¼ * (2 z^2 + 2 z %^2 ) = ½ * ( z ^2 + z % ^2 )
Analoge Resultate entstehen für w = u + iv in der w-Ebene.
nämlich
u^2 = ¼ ( w^2 + 2 w w% + w%^2 )
v^2 = - ¼ ( w^2 - 2 w w% + w%^2 )
u^2 + v ^2 = w w%
u^2 - v ^2 = ½ * ( w ^2 + w% ^2 )

Jetzt setzen wir das Gelernte in die Parabelgleichung
y ^ 2 = 2 p x ein.
Es entsteht: - ¼ z^2 + ½ z z% - ¼ z%^2 = p ( z + z% ) oder
z^2 - 2 z z% + z%^2 = - 4 p ( z + z% ) .

Die Spiegelung am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 oder
z*z% = 1 kann durch die Funktion w = 1 / z% realisiert
werden,
Nun wenden wir diese Abbildungsgleichung w =1 /z% ,d.h.
z = 1 / w% oder auch z% = 1/ w an ; es kommt:
w^2 – 2 w w% + w%^2 = - 4 p w w% ( w + w% )
Gehen wir zu den u - und v –Werten gemäss der obigen
Zusammenstellung über, so entsteht schliesslich die
gesuchte Gleichung der Bildkurve in den Variablen u, v,
nämlich:
u^2 – v^2 - u^2 – v^2 = - 4 p u ( u^2 + v^2) , vereinfacht :
v^2 = p u ( u^2+v^2), daraus
v^2 = 2 p u^3 / (1 – 2 p u )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das ist die Gleichung
einer Kissoide oder Zissoide,
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
wie manche sagen (das Wort stammt natürlich nicht aus dem
Englischen, sondern aus dem Altgriechischen)
Der Verfasser dieser Zeilen hat früher einige Beiträge zu
dieser interessanten Kurve ins Board gestellt:
Bitte im Archiv nachsehen !

Viel Vergnügen bei der Nachkontrolle
wünscht
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 06:57:   Beitrag drucken

Hi Vroni,

Deine Aufgabe lässt sich ausbauen,
indem wir die Zusatzfrage stellen:
Welche Bildkurve entsteht, wenn wir
die gleichseitige Hyperbel x^2 – y^2 = 1
am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 spiegeln ?

Lösung:
Mit z % sei wiederum die zu z = x + i y konjugiert
komplexe Zahl x – i y bezeichnet.
Mit der Formel
x^2 - y ^2 = ½ * ( z ^2 + z % ^2 )
verwandeln wir die Hyperbelgleichung x^2 – y^2 = 1
in die komplexe Schreibweisse
z^2 + z %^2 = 2 ; die Spiegelung am Einheitskreis
z = 1 / w % bewirkt ,dass diese Gleichung in die Gleichung
w^2 + w%^2= 2 [w*w%]^2 in der w-Ebene übergeht.
Mit w = u + i v und w % = u – i v schreiben wir :
2* {u^2 – v^2 } = 2 * {u^2 + v^2}^2 , vereinfacht
(u^2 + v^2 ) ^2 – ( u^2 – v ^2) = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies ist die Gleichung einer Lemniskate !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Vroni
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 07:41:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,megamath

Vielen Dank für Deine Hilfe !

Vroni
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Niels (niels2)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 134
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 14:45:   Beitrag drucken

Hallo Megamath,

entschuldige wenn ich noch Monate nach dem eigentlichen Diskussionsrunde nochmal darauf herumreiten möchte, aber könntest du nochmal die Umformungen ab

u^2 – v^2 - u^2 – v^2 = - 4 p u ( u^2 + v^2)

etwas kleinschrittiger vornehmen?

sonst kann ich das soweit nachvollziehen.

viele Grüße

N.
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megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 15:16:   Beitrag drucken

Hallo Niels,


Betreff:
Spiegelung der Parabel y^2 = 2px am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1.

Gerne gehe ich auf Deine Frage ein, obwohl ich gegenwärtig, von
meinem Bezugssystem aus gesehen, landesabwesend bin.

Es ist wohl am besten, die Rechnung mit einer etwas abgewandelten
Methode neu zu beginnen, indem ich die in meinem heutigen zweiten
Beitrag an Dich eingesetzten Abbildungsgleichungen verwende.
welche lauten (loco citato):

x = u / (u^2 + v^2) , y = v / (u^2 + v^2).

Dies setzen wir in die Parabelgleichung y ^ 2 = 2 p x ein; es kommt:
v ^ 2 / (u^2 + v^2) ^ 2 = 2 p u / (u^2 + v^2); vereinfacht:
v ^ 2 = 2 p u (u^2 + v^2); nach v ^ 2 aufgelöst:
v ^ 2 = 2 p u ^3 / ( 1 -2 pu ) , wie damals.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Niels (niels2)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 15:58:   Beitrag drucken

Hi Hans Rudolf,

1)

Wie kommst du auf die Abbildungsgleichungen:

x=u/(u^2+v^2), y=v/(u^2+v^2)

2)
kann ja sein das ich blöde bin, aber irgendwie verschweigst du Umformungsschritte:
v^2=2pu(u^2+v^2)
v²=2pu³+2puv²
v^2=2pu^3/(1-2pu)

Wie kommt der Nenner (1-2pu) zustande?

Gruß N.
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Protester
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Oktober, 2002 - 09:17:   Beitrag drucken

Bitte keine Antworten: aus Protest gegen die Pop-up-Fenster!
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Niels (niels2)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 15:56:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Das mit den Abbildungsgleichungen ist nun klar.

Aber die Lezten Parabelumformungen verstehe ich immer noch nicht.

Kannst du dich nochmal darum kümmern?

viele Grüße

Niels
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megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 12. Oktober, 2002 - 08:58:   Beitrag drucken

Spiegelungen am Kreis - Ergänzung

Hi Niels,

Aus Zeitgründen ist es mir nicht möglich, detailliert
auf Deine Fragen einzugehen.

Die folgenden Angaben müssen genügen:

1.
Bei der Spiegelung der Geraden g : y = a x +b
(mit b nicht null) am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1
entsteht ein Kreis k.

Daten von k :
Radius r = 1/(2b) * wurzel (1 + a^2)
Mittelpunktskoordinaten:
xM = - a / (2b) , yM = 1 / (2b)

2.
Bei meiner Arbeit vom 3.Juni 02, die Du zitiert hast,
befindet sich auf Seite 2 ein Tippfehler.
Richtig muss es heißen:
R : v ^ 2 = 2 p u ( u ^ 2 + v^ 2)
statt v ^ 2 = p u ( u ^ 2 + v^ 2) .
Es ist ein Kinderspiel, die (richtige) Relation R vollständig
nach v^2 aufzulösen, um damit die Gleichung der Zissoide
in Standardform zu erhalten.
°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser,megamath.


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