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Vroni
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 18:29: |
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Hallo Bei der folgenden Aufgabe finde ich keinen Zugang zur Lösung.. Wer kann mit helfen ? Dir Parabel y ^ 2 = 2 p x wird am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 gespiegelt . Wie lautet die Gleichung der Bildkurve; welcher Kurventyp liegt vor ? Für jeden Lösungsansatz bin ich sehr dankbar. Vroni
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H.R.Moser,megameth
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 06:21: |
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Hi Vroni, Wir lösen die Aufgabe in der Gauss´schen Zahlenebene: Urbild (Original) : Punkt P in der z-Ebene mit: z = x + i y Bildpunkt P´ von P in der w-Ebene mit w = u + i v. Mit z% sei die zu z konjugiert komplexe Zahl z% = x – i y bezeichnet. Als Vorbereitung spielen wir ein wenig mit z und z% herum. Es gilt : z = x + i y z% = x - i y , daraus z + z% = 2 x oder x = ½ (z+z%) z% - z = - 2 i y oder y = - 1 / (2i) (z% - z) = ½ i (z% - z) Nun berechnen wir x^2, y^2 , x^2 + y^2, x^2 - y^2: Ergebnisse x^2 = ¼ ( z^2 + 2 z z% + z%^2 ) y^2 = - ¼ ( z^2 - 2 z z% + z%^2 ) x^2 + y ^2 = ¼ * 4 * z z% = z z% x^2 - y ^2 = ¼ * (2 z^2 + 2 z %^2 ) = ½ * ( z ^2 + z % ^2 ) Analoge Resultate entstehen für w = u + iv in der w-Ebene. nämlich u^2 = ¼ ( w^2 + 2 w w% + w%^2 ) v^2 = - ¼ ( w^2 - 2 w w% + w%^2 ) u^2 + v ^2 = w w% u^2 - v ^2 = ½ * ( w ^2 + w% ^2 ) Jetzt setzen wir das Gelernte in die Parabelgleichung y ^ 2 = 2 p x ein. Es entsteht: - ¼ z^2 + ½ z z% - ¼ z%^2 = p ( z + z% ) oder z^2 - 2 z z% + z%^2 = - 4 p ( z + z% ) . Die Spiegelung am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 oder z*z% = 1 kann durch die Funktion w = 1 / z% realisiert werden, Nun wenden wir diese Abbildungsgleichung w =1 /z% ,d.h. z = 1 / w% oder auch z% = 1/ w an ; es kommt: w^2 – 2 w w% + w%^2 = - 4 p w w% ( w + w% ) Gehen wir zu den u - und v –Werten gemäss der obigen Zusammenstellung über, so entsteht schliesslich die gesuchte Gleichung der Bildkurve in den Variablen u, v, nämlich: u^2 – v^2 - u^2 – v^2 = - 4 p u ( u^2 + v^2) , vereinfacht : v^2 = p u ( u^2+v^2), daraus v^2 = 2 p u^3 / (1 – 2 p u ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Das ist die Gleichung einer Kissoide oder Zissoide, °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° wie manche sagen (das Wort stammt natürlich nicht aus dem Englischen, sondern aus dem Altgriechischen) Der Verfasser dieser Zeilen hat früher einige Beiträge zu dieser interessanten Kurve ins Board gestellt: Bitte im Archiv nachsehen ! Viel Vergnügen bei der Nachkontrolle wünscht H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 06:57: |
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Hi Vroni, Deine Aufgabe lässt sich ausbauen, indem wir die Zusatzfrage stellen: Welche Bildkurve entsteht, wenn wir die gleichseitige Hyperbel x^2 – y^2 = 1 am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 spiegeln ? Lösung: Mit z % sei wiederum die zu z = x + i y konjugiert komplexe Zahl x – i y bezeichnet. Mit der Formel x^2 - y ^2 = ½ * ( z ^2 + z % ^2 ) verwandeln wir die Hyperbelgleichung x^2 – y^2 = 1 in die komplexe Schreibweisse z^2 + z %^2 = 2 ; die Spiegelung am Einheitskreis z = 1 / w % bewirkt ,dass diese Gleichung in die Gleichung w^2 + w%^2= 2 [w*w%]^2 in der w-Ebene übergeht. Mit w = u + i v und w % = u – i v schreiben wir : 2* {u^2 – v^2 } = 2 * {u^2 + v^2}^2 , vereinfacht (u^2 + v^2 ) ^2 – ( u^2 – v ^2) = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Dies ist die Gleichung einer Lemniskate ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Vroni
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 07:41: |
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Hallo H.R.Moser,megamath Vielen Dank für Deine Hilfe ! Vroni |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 134 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 14:45: |
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Hallo Megamath, entschuldige wenn ich noch Monate nach dem eigentlichen Diskussionsrunde nochmal darauf herumreiten möchte, aber könntest du nochmal die Umformungen ab u^2 – v^2 - u^2 – v^2 = - 4 p u ( u^2 + v^2) etwas kleinschrittiger vornehmen? sonst kann ich das soweit nachvollziehen. viele Grüße N. |
megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 15:16: |
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Hallo Niels, Betreff: Spiegelung der Parabel y^2 = 2px am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1. Gerne gehe ich auf Deine Frage ein, obwohl ich gegenwärtig, von meinem Bezugssystem aus gesehen, landesabwesend bin. Es ist wohl am besten, die Rechnung mit einer etwas abgewandelten Methode neu zu beginnen, indem ich die in meinem heutigen zweiten Beitrag an Dich eingesetzten Abbildungsgleichungen verwende. welche lauten (loco citato): x = u / (u^2 + v^2) , y = v / (u^2 + v^2). Dies setzen wir in die Parabelgleichung y ^ 2 = 2 p x ein; es kommt: v ^ 2 / (u^2 + v^2) ^ 2 = 2 p u / (u^2 + v^2); vereinfacht: v ^ 2 = 2 p u (u^2 + v^2); nach v ^ 2 aufgelöst: v ^ 2 = 2 p u ^3 / ( 1 -2 pu ) , wie damals. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 139 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 15:58: |
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Hi Hans Rudolf, 1) Wie kommst du auf die Abbildungsgleichungen: x=u/(u^2+v^2), y=v/(u^2+v^2) 2) kann ja sein das ich blöde bin, aber irgendwie verschweigst du Umformungsschritte: v^2=2pu(u^2+v^2) v²=2pu³+2puv² v^2=2pu^3/(1-2pu) Wie kommt der Nenner (1-2pu) zustande? Gruß N. |
Protester
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Oktober, 2002 - 09:17: |
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Bitte keine Antworten: aus Protest gegen die Pop-up-Fenster! |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 150 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 15:56: |
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Hi Megamath, Das mit den Abbildungsgleichungen ist nun klar. Aber die Lezten Parabelumformungen verstehe ich immer noch nicht. Kannst du dich nochmal darum kümmern? viele Grüße Niels |
megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. Oktober, 2002 - 08:58: |
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Spiegelungen am Kreis - Ergänzung Hi Niels, Aus Zeitgründen ist es mir nicht möglich, detailliert auf Deine Fragen einzugehen. Die folgenden Angaben müssen genügen: 1. Bei der Spiegelung der Geraden g : y = a x +b (mit b nicht null) am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 entsteht ein Kreis k. Daten von k : Radius r = 1/(2b) * wurzel (1 + a^2) Mittelpunktskoordinaten: xM = - a / (2b) , yM = 1 / (2b) 2. Bei meiner Arbeit vom 3.Juni 02, die Du zitiert hast, befindet sich auf Seite 2 ein Tippfehler. Richtig muss es heißen: R : v ^ 2 = 2 p u ( u ^ 2 + v^ 2) statt v ^ 2 = p u ( u ^ 2 + v^ 2) . Es ist ein Kinderspiel, die (richtige) Relation R vollständig nach v^2 aufzulösen, um damit die Gleichung der Zissoide in Standardform zu erhalten. °°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen Hans Rudolf Moser,megamath.
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