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yellow
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 21:05: | 
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Hi,
wie ist das Konvergenzverhalten von an=sin(n).
Ich vermute, die Folge divergiert. Nur, wie kann ich das beweisen?
yellow |
species5672 (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 16:11: |
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auch wenn das wohl etwas zu spät kommt, aber beantworten wir die Frage mal für das Archiv.
Die Aufgabe ist eigentlich ganz simpel:
sin ist 2p-periodisch, d.h. sin(x)=sin(x+n*2p)
Da sin(0)=0 und sin(p/2)=1, können wir die Teilfolgen
sin(0+n*2p) und sin(p/2+n*2p) konstruieren die konstant 0 bzw. 1 sind, damit kann sin(n) nicht konvergieren. |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 19:59: |
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Also hier regt sich doch glatt mein Widerspruchsgeist:
wenn ich das richtig verstehe, ist bei an = sin(n) das Argument des sinus immer eine natürliche Zahl; inbesondere ist dieses nie pi oder pi/2 und damit gibt es die von species 5672 konstruierte Teilfolge nicht.
Aber: Z.B. zu pi kann man leicht eine Folge rationaler Zahlen (pn/qn) konstruieren, die gegen pi konvergiert; die entsprechenden Zähler (pn) sind eine Folge in den natürlichen Zahlen; diese ausgewählten bilden eine Teilfolge der obigen Folge, mit der Konsequenz: [zugegeben mathematisch etwas schlampig geschrieben]
sin(pn) = sin(qn*pn/qn) --> sin(qn*pi) = 0
Ebenso konstruiert man eine Folge rationaler Zahlen (rn/sn) mit ungeraden Nennern, die gegen pi/2 konvergiert; und wählt sin(rn) = sin(sn*rn/sn) --> sin(sn*(pi/2)) --> +1 oder -1 oder springt hin und her
schränkt man sn auf Zahlen vom Typ 4k+1 oder 4k-1 ein, konvergiert die Teilfolge sicher gegen +1 oder -1
Gruß epsilon
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 20:54: |
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@epsilon:
also ich finde es gar nicht so trivial eine Folge zu konstruieren, die gegen pi konvergiert, kannst du bitte mal angeben wie man das macht, in meiner Formelsammlung steht nämlich auch keine Folge drin die dies erfüllt! Gibt's da einen Trick, wie man sich eine Folge konstruiert die gegen einen gewünschten Wert konvergiert???
Maxi |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1252
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 21:09: |
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3, 31/10, 314/100, 3141/1000, 31415/10000, ...
ist zwar nicht die schnellste, aber sie tut es wohl. |
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 23:53: |
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gnarf ich bin ein Idiot, Idiot, Idiiiot.
Ihr habt ja recht.
Man sollte doch lesen und nachdenken bevor man irgendwas schreibt.
Wie wäre es denn mit diesem Ansatz (etwas unmathematisch aber so als Idee):
Der sinus ist ja auf dem Intervall [p/2,p] stetig und streng monoton fallend.
Also ist er erst recht auf [2,3] stetig und streng monoton fallend.
Auf dem Intervall [(3/2)*p,2p] ist er streng monoton steigend und stetig, also auch auf dem Intervall [5,6]
Also ist für x aus [2,3]
sin(2)³sin(x)³sin(3)=a>0
und für y aus [5,6]
sin(5)£sin(y)£sin(6)=b<0
Beide Intervalle wiederholen sich natürlich mit der Periode 2p und} da die Länge der Intervalle gleich 1 ist, tappt die Folge immer wieder in beide Intervalle hinein, es lassen sich also immer wieder Folgeglieder finden, deren Abstand größer oder gleich einem festen c=|a-b|. Damit erfüllt an=sin(n) nicht das Cauchy-Kriterium und divergiert. |
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