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Beitrag |
    
h1h2h3
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 01:16: | 
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Hallo,
was ist denn das Skalarprodukt genau. Schon klar a-> ° b-> = a · b · cos(<(a->,b->)) usw.
Doch was ich eigntl. wissen möchte:
Woher kommt das SP?
Wie wird es an der Uni eingeführt?
Wie leitet man das SP her? Bzw. welche allgemeinere Def. liegt zugrunde.
Na da bin ich ja mal gespannt und bedanke mich im Voraus.mfg
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 668
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 19:25: |
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Hi h1h2h3!
Wir haben zwei ähnliche Definitionen kennengelernt, einmal für einen R-Vektorraum und einmal für einen C-Vektorraum.
Für den R-Vektorraum:
Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform.
Bilinearform heißt:
<x,y> + <x',y> = <x+x',y> ,
<x,y> + <x,y'> = <x,y+y'> und
<ax,y> = a<x,y> = <x,ay>
symmetrisch heißt:
<x,y> = <y,x>
positiv definit heißt:
<x,x> > 0, für alle x ungleich 0, also
<x,x> = 0 Þ x = 0
(x,x',y,y' sind Vektoren, a reell)
Ähnlich war die Definition des Skalarprodukts für einen C-Vektorraum: (x soll x konjugiert heißen)
Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite Hermitesche Form.
Eine Hermitesche Form ist eine Sesquilinearform, für die gilt:
<x,y> = <y,x>
Eine Sesquilinearform ist eine Abbildung < , >:V*V -> C, für die gilt:
<ax+bx',y> = a<x,y> + b<x',y> und
<x,ay+by'> = a<x,y> + b<x,y'>
Schließlich ist positiv definit dasselbe wie oben, also:
<x,x> > 0 für alle x ungleich 0.
Ein Paar aus einem reellen Vektorraum und einem Skalarprodukt nennt man einen euklidischen Vektorraum.
Ein Paar aus einem komplexen Vektorraum und einem Skalarprodukt nennt man einen unitären Vektorraum.
So viel zu unsere Definition.
MfG
Martin
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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Mr. M
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 02:22: |
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Ah ja, danke! Sehr interessant.
und wie kommt man damit jetzt zu:
a-> ° b-> = a · b · cos(<(a->,b->)) ???
M f G
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 12:22: |
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z.B.
zeichne (Vektor a)+(Vektor b) und wende den Cosinussatz an, dann benutze durch geeignete Umformung das Skalarprodukt im IR³.
Mit freundlichen Grüssen
M. |
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