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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 08:37: | 
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Hallo!
Ich habe da so meine Probleme mit der folgenden Aufgabe. Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Schon mal vielen Dank im Voraus.
Man transformiere die folgende quadratische Gleichung in Diagonalgestalt, gebe die zugehörige Transformationsmatrix an und skizziere die Lösung im x-y- Koordinatensystem.
11x²-6xy+3y²-24=0
Das Skizzieren soll ja nicht das Problem sein.
Martin |
H.R.-Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 15:04: |
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Hi Martin,
Bei Deiner Aufgabe handelt es sich um die
Hauptachsentransformation einer quadratischen
Form mit zwei Variablen
F ( x, y ) = A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2 ,
wobei A = 11 , B = - 3 , C = 3 gilt.
1.
Wir bilden die Matrix M = (aik) der Koeffizienten :
a11 = A = 11 , a12 = a21 = B = -3, a22 = C = 3
Diese symmetrische Matrix gibt bereits Auskunft über
den Typus des Kegelschnittes, welche durch die Gleichung
A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2 + L (x , y) = 0
dargestellt wird; L ist eine Linearform in x und y,
in Deinem Beispiel ist L die Konstante -24.
Je nachdem die Determinante der Matrix positiv, null
oder negativ ist, liegt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel
vor; in unserem Fall ist die Kurve eine Ellipse, weil
die genannte Determinante positiv ist.
2.
Wir suchen die Eigenwerte der Matrix M
Zu diesem Zweck ermitteln wir eine Matrix B
mit den Elementen
b11 = a11 - L = 11 - L
b12 = b21 = a12 = a21 = -3
b22 = a22 - L = 3 - L
Setzt man die Determinante dieser Matrix null,
so entsteht eine quadratische Gleichung für L,
die charakteristische Gleichung, deren
Lösungen L1 und L2 die Eigenwerte sind.
Diese Gleichung lautet:
L ^ 2 -14 * L + 24 = 0 ,
Eigenwerte : L1 = 2 , L2 = 12.
3.
Wir wissen jetzt schon, wie die Gleichung der Ellipse
im Hauptachsensystem (neue Koordinaten u,v) aussieht,
nämlich so :
2 * u ^ 2 + 12 * v ^ 2 - 24 = 0
Als Koeffizienten von u^2 und v^2 erscheinen die Eigenwerte.
Ein gemischtes quadratisches Glied u v tritt nicht auf
Aus dieser Gleichung erkennt man die Halbachsen der Ellipse
ohne weiteres. Sie sind:
auf der u-Achse: (v=0): Wurzel (12)
auf der v-Achse: (u=0):wurzel (2)
Wie die neuen Achsen zu gewinnen sind und weiteres
zur Hauptachsentranformation erfährst Du
in einer Fortsetzung.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 16:13: |
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Hi Martin,
Es geht weiter !
4.
Wir ermitteln nun die Eigenvektoren zu jedem der beiden
Eigenwerte L1, L2:
Wir erhalten die Koordinaten x , y eines Eigenvektors,
aus der Gleichung
(a11 - L ) * x + a12 * y = 0 mit a11 = 11, a12 = -3.
x, y dürfen nicht beide null sein, ferner beachte man ,
dass nur der Quotient y : x bestimmt ist
Durchführung :
a) L1 = 2 ; die Gleichung lautet
(11-2)x - 3y = 0 oder 9x - 3y = 0 daraus
y = 3 x........................................................(u)
a) L1 = 12 ; die Gleichung lautet:
(11-12)x - 3y = 0 oder -x - 3y = 0 daraus
y = - 1 / 3 x......................................................(v)
Die Gleichungen (u) und (v) sind gerade die Gleichungen
der neuen( gedrehten) Achsen u und v,
welche im letzten Abschnitt als Hauptachsen aufgetreten
sind
Die u-Achse bildet mit der alten x-Achse den Winkel phi,
dessen Tangenswert mit der Steigung m = 3 der Geraden
y = 3x übereinstimmt.
Es handelt sich somit um eine Drehung des
(x,y)Koordinatensystems um diesen Winkel phi,
von dem wir noch den Sinus - und Kosinuswert berechnen,
da diese Werte in die Drehformeln eingehen
Man erhält mittels Goniometrie aus tan (phi) = 3
cos(phi) = 1 / wurzel(10) = w
sin (phi) = 3 / wurzel(10) = 3 w , wenn zur Abkürzung
w = 1 / wurzel(10) geschrieben wird
5.
Drehformeln
Alte Koordinaten x,y durch die neuen u ,v ausgedrückt:
x = u cos(phi) - v sin (phi) = w * [ u - 3 v] .............( T1 )
y = u sin (phi) + v cos(phi) = w * [3u + v ] ..............( T2 )
Setzt man diese Werte in Deine Gleichung ein, so heben sich die
Glieder mit u*v weg und es entsteht die im letzten Abschnitt
notierte Gleichung in u , v
Damit ist die Hauptachsentransformation vollzogen!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 22:25: |
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Hi Martin,
Das Thema Hauptachsentransformation ist unerschöpflich !
Hier noch ein paar zusätzliche Kostproben.
6.
Der Winkel phi einer Hauptachse mit der alten x-Achse
kann auch aus den Koeffizienten A, B, C der quadratischen
Form
F(x,y) = A*x^2 + 2B* x y + C* y^2 direkt nach der Formel:
tan (2 * phi ) = 2 * B / ( A - C )
berechnet werden.
Für unser Beispiel erhalten wir:
tan (2 * phi) = - 6 / 8 = - 3 / 4.
Mit der Formel tan (2* phi ) = [2 * tan(phi)] / [1 - ( tan ^ 2 (phi)]
gewinnt man tan (phi ) = 3 und tan (phi) = - 1 /3
wie im vorhergehenden Abschnitt.
7.
Zum Abschluss möchte ich eine äusserst interessante Lösung
zur Ermittlung der Hauptachsen und der quadratischen Form
in der rein quadratischen Gestalt vorführen.
Diese Methode findet man kaum in Lehrbüchern;
sie werde hier als Geheimtip vorgeführt.
Wir ermitteln das Maximum der quadratischen Form F(x,y)
auf dem Kreis mit Mittelpunkt in O und mit dem Radius eins.
Eine Parametergleichung dieses Kreises lautet:
x = cos t , y = sin t .
Dies setzen wir in die gegebene Form ein und erhalten eine
Funktion f (t ) von t allein; dabei variiert der Parameter t
von 0 bis 2*Pi.
Wir erhalten für unser Beispiel:
f(t) = 11 * cos^ 2 (t) - 6 * sin t * cos t + 3 * sin ^ 2 (t).....(Gl I)
= 11 * cos^2 (t) - 3 * sin (2t) + 3 * sin ^2 (t)
Ableitung nach t :
f '(t) = - 22 cos t * sin t - 6 * cos 2t + 6 * sin t * cos t
= - 8 * sin 2t - 6 * cos 2t
Setzt man die Ableitung null
(notwendige Bedingung für ein Extremum), so erhält man als
Resultat:
tan ( 2 t ) = - 3 / 4 wie für tan( 2 phi ) in Abschnitt 6.
Weiter berechnet man:
a) cos t = w , sin t = 3 * w mit w = 1 / wurzel(10)
b) cos t = - 3w , sin t = w (mit demselben Wert für w)
Setzt man dies alles in die Funktion f(t) in (Gl I) ein ,
so erhält man die Extremalwerte und zwar
mit den Werten aus a):
den Wert 2 als Minimum der quadratischen Form F
mit den Werten b)
den Wert 12 als Maximum der quadratischen Form. F
.
Höchst zufriedenstellend ist die Tatsache ,dass diese Werte mit den
früher berechneten Eigenwerten übereinstimmen.
Bravo !
Hoffentlich haben Dir diese Ausführungen gefallen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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