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Matrixgirl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 12:14: | 
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Hi,
kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Für welche c>0 konvergiert bzw. divergiert das Integral ( 0 bis unendlich):sin(x^c)dx?
Vielen Dank schon mal im Vorraus. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 242
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 18:43: |
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Matrixgirl :
Vorschlag :
Wegen c>0 ist das Integral uneigentlich nur
bei oo. Wir substituieren zunächst
x = (pi)^(1/c)*t^(1/c) .
Setze noch zur Abkürzun 1/c - 1 =: s.
Das Integral wird dann bis auf einen Faktor
gleich
int[0...oo]t^s*sin(pi*t)dt
= lim[N->oo] J(N),
wobei J(N) := int[0...N]t^s*sin(pi*t)dt.
= sum[k=0...N-1]A(k) mit
A(k) :=int[k...k+1]t^s*sin(pi*t) dt.
Im k-ten Summanden A(k) schreiben wir
t = k + z , 0 =< z =< 1,
dann wird
A(k) = int[0...1] (k+z)^s*sin[pi*z + pi*k]dz
= (-1)^k*int[0...1] (k+z)^s*sin(pi*z) dz.
Auf das Integral wenden wir nun den
erweiterten Mittelwertsatz der Integralrechnung an. Danach gibt es
ein w mit 0 < w < 1 (w hängt von k ab, das macht aber nichts), sodass
int[0...1](k+z)^s*sin(pi*z) dz
(k+w)^s*int[0...1]sin(pi*z)dz
= (2/pi)*(k+w)^s
Daraus folgt :
(1) Wenn s >= 0 , d.h. 0 < c =< 1, so ist
sum[k=0...oo]A(k) divergent (denn (k+w)^s strebt für k-oo nicht gegen Null),also auch das
gegebene Integral.
(2) Wenn s < 0, d.h. c > 1, so ist
lim[k->oo](k+w)^s = 0,
die alternierende Reihe sum[k=0..oo]A(k) konvergiert daher nach dem Leibniz-Kriterium, also konvergiert auch das Integral.
Das war eine Spontanaktion, vielleicht
geht es eleganter.
mfg
Orion
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Matrixgirl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 20:45: |
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hey Orion,
erstmal viiiiiiiiieeeeeeeelen Dank für deine Hilfe, leider ist mir aufgefallen, daß ich da nen kleinen Fehler in der Aufgabe gemacht habe: das Integral läuft von 1 bis unendlich und nicht von 0.
Wär lieb, wenn Du mir auch da weiterhelfen könntest. Sorry, deswegen und Danke!!!!!!! |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 243
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 22:03: |
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Matrixgirl :
Für die Konvergenzfrage ist das völlig unerheblich: Es kommt ja nur darauf an, wie sich der Integrand für x -> oo verhält !
int[1...oo] = int[0...oo] - int[0...1].
Orion
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Matrixgirl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 22:11: |
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Super, vielen Dank für Deine Hilfe!!!!!!!!!!!!!
Echt super lieb von Dir. |
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