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Beitrag |
    
Wolke
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 21:18: | 
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Hallo
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter:
Sei a_n > 0 und Summe[n=1,...,oo] a_n sei konvergent.
Zeige:
Die Reihe f(x)= Summe[n=1,...,oo] min( x/a_n , a_n/x)
Konvergiert für alle x > 0 . Ist die Konvergenz gleichmäßig auf ]0,oo[, und ist f stetig auf ]0,oo[?
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Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 13:26: |
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Hi Wolke!
Sei an konvergent mit Grenzwert A, an > 0 f.a. n aus N und x aus R>0
Setze: bn:=min{x/an;an/x}
und p:=|A-x|/2
Sei e aus ]0,p[
Da an konv. ist, ext. ein N aus N mit |an-A|<e für alle n>N.
Daraus folgt, daß A-e < an < A+e und insbs. bn < A+p gilt.
Also gilt für alle n>N an¹x und somit bn < 1.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x<A. Dann gilt für alle n>N
bn = x/an < x/(A+p) < 1, da x,A,p > 0.
Setze q:=x/(A+p)
Dann gilt für alle n>N: |bn|1/n = (bn)1/n < bn = x/an < q.
Damit gilt für fast alle n, daß |bn|1/n<q gilt und deswegen ist S¥ i=1bn konv. (vergleiche "Wurzelkriterium" für Reihen).
Allerdings klappt das ganze nicht mehr, wenn an = x für alle n gilt. Dann wäre bn = 1 und die reihe div.
Zum rest muß ich dich auf später vertrösten,
Gruß
Tyll
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Wolke
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 21:31: |
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hallo Tyll
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich habe deine Lösung jedoch ehrlich gesagt nicht so ganz verstanden. Warum konvergiert a_n gegen A?
Ist a_n nicht eine Nullfolge, da doch die Reihe über die a_n konvergiert (tut mir leid, falls ich es in der Aufgabe zu missverständlich geschrieben habe)?
Und wie kommst du auf das p ?
Gruss Wolke |
Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 96
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 12:00: |
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Hi Wolke!
Da hast du natürlich recht.
Seien die Vor. wie oben und bn def. wie oben.
Setze A:={n aus N| bn > x} und B:={n aus N| bn <= x}.
Sei n aus A.
Dann gilt: an > x, also bn = x/an < an (denn wäre x/an > an, so folgte x > (an)², Widerspruch!)
Sei n aus B.
Aus an <= x folgt offensichtlich bn = an/x <= an
Also gilt für ganz N und wegen 0 < bn
|bn| < an.
Da S¥ i=1an konvergent ist, folgt dann nach dem Majorantenkriterium, daß auch S¥ n=1bn konvergent ist.
Gruß
Tyll
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Wolke
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 08:05: |
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Danke Tyll
Ist ja garnicht so schlimm ,wie es aussieht. aber erst einmal daraufkommen!
wolke |
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