Autor |
Beitrag |
Jodokus
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 19:22: |
|
Hallo. Wie beweist man, dass Sk=1oo k²/3k = 3/2 ist?
|
Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 65 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 22:12: |
|
Hi Jodokus! Wir definieren wieder analog zu unseren vorherigen Berech- nungen: G(j) := sum(1/3^k,k=j..inf) Es gilt völlig analog: G(j) = 1/3 * G(j-1); j>0 Ebenso gilt auch hier, dass sich die gegebene Reihe in der Form R = a_1 * G(1) + a_2 * G(2) + a_3 * G(3) + ... darstellen lässt. R := sum(k^2/3^k,k=1..inf) = 1/3 + 4/9 + 9/27 + 16/81 + ... = G(1) + 3 * G(2) + 5 * G(3) + 7 * G(4) + ... = G(1) + G(1) + 5/9 * G(1) + 7/27 * G(1) + ... = G(1) * (1 + 1 + 5/9 + 7/27 + 9/81 + ...) = G(1) * (2 + 5 * G(2) + 2 * (G(3) + G(4) + G(5) + ...)) = G(1) * (2 + 5/3 * G(1) + 2 * (1/9 * G(1) + 1/27 * G(1) + ...)) = G(1) * (2 + 5/3 * G(1) + 2 * G(1) * G(2)) = G(1) * (2 + 5/3 * G(1) + 2/3 * (G(1))^2) Mit G(1) = 1/(1-1/3) - 1 = 1/2 => R = 1/2 * (2 + 5/6 + 1/6) = 1/2 * 3 = 3/2 Nach diesen beiden Aufgaben denke ich, dass es so langsam an der Zeit ist, dass wir uns der Reihe sum(k^n/q^k,k=1..inf) widmen, also dem allgemeinsten aller Fälle. Gruß, X. |
Jodokus
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 21:06: |
|
Hallo Xell, danke für diesen Beweis. So ganz habe ich das System nicht nachvollziehen können, mit dem du diesen Weg gegangen bist. Um für meine Bedürfnisse, auch im Hinblick auf die allgemeine Formel für sum(k^n/q^k,k=1..inf), etwas mehr Systematik reinzubringen, würd ich den Weg etwas abändern: R := sum(k^2/3^k,k=1..inf) = 1/3 + 4/9 + 9/27 + 16/81 + ... = 1 * G(1) + 3 * G(2) + 5 * G(3) + 7 * G(4) + ... = 1/1 * G(1) + 3/3 * G(1) + 5/9 * G(1) + 7/27 * G(1) + ... = G(1) * (1/1 + 3/3 + 5/9 + 7/27 + 9/81 + 11/243 + ... ) = G(1) * Sum( (2*j+1)/3^j ,j=0..inf) = G(1) * [ 2 * Sum( j/3^j , j=0..inf ) + Sum( 1/3^j ,j=0..inf ) ] und mit Sum(j/q^j ,j=0..inf) = q/(1-q)^2 und Sum(1/q^j ,j=0..inf) = 1/(1-q) wird daraus: R = G(1) * [ 2* 3/(1-3)² + 3/2 ] = 1/2 *(2 * 3/4 + 3/2) = 3/2 Gruß Jodokus
|
|