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Beweis: Sk=1oo k²/3k = 3/2...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Beweis: Sk=1oo k²/3k = 3/2 « Zurück Vor »

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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 19:22:   Beitrag drucken

Hallo.

Wie beweist man, dass
Sk=1oo k²/3k = 3/2
ist?
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Xell (vredolf)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 22:12:   Beitrag drucken

Hi Jodokus!

Wir definieren wieder analog zu unseren vorherigen Berech-
nungen:
G(j) := sum(1/3^k,k=j..inf)
Es gilt völlig analog:
G(j) = 1/3 * G(j-1); j>0
Ebenso gilt auch hier, dass sich die gegebene Reihe
in der Form R = a_1 * G(1) + a_2 * G(2) + a_3 * G(3) + ...
darstellen lässt.

R := sum(k^2/3^k,k=1..inf) = 1/3 + 4/9 + 9/27 + 16/81 + ...
= G(1) + 3 * G(2) + 5 * G(3) + 7 * G(4) + ...
= G(1) + G(1) + 5/9 * G(1) + 7/27 * G(1) + ...
= G(1) * (1 + 1 + 5/9 + 7/27 + 9/81 + ...)
= G(1) * (2 + 5 * G(2) + 2 * (G(3) + G(4) + G(5) + ...))
= G(1) * (2 + 5/3 * G(1) + 2 * (1/9 * G(1) + 1/27 * G(1) + ...))
= G(1) * (2 + 5/3 * G(1) + 2 * G(1) * G(2))
= G(1) * (2 + 5/3 * G(1) + 2/3 * (G(1))^2)


Mit G(1) = 1/(1-1/3) - 1 = 1/2
=>
R = 1/2 * (2 + 5/6 + 1/6) = 1/2 * 3 = 3/2


Nach diesen beiden Aufgaben denke ich, dass es so langsam
an der Zeit ist, dass wir uns der Reihe sum(k^n/q^k,k=1..inf)
widmen, also dem allgemeinsten aller Fälle.


Gruß,
X.
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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 21:06:   Beitrag drucken

Hallo Xell, danke für diesen Beweis.

So ganz habe ich das System nicht nachvollziehen können, mit dem du diesen Weg gegangen bist.

Um für meine Bedürfnisse, auch im Hinblick auf die allgemeine Formel für
sum(k^n/q^k,k=1..inf), etwas mehr Systematik reinzubringen, würd ich den Weg etwas abändern:

R := sum(k^2/3^k,k=1..inf) = 1/3 + 4/9 + 9/27 + 16/81 + ...
= 1 * G(1) + 3 * G(2) + 5 * G(3) + 7 * G(4) + ...
= 1/1 * G(1) + 3/3 * G(1) + 5/9 * G(1) + 7/27 * G(1) + ...
= G(1) * (1/1 + 3/3 + 5/9 + 7/27 + 9/81 + 11/243 + ... )
= G(1) * Sum( (2*j+1)/3^j ,j=0..inf)
= G(1) * [ 2 * Sum( j/3^j , j=0..inf ) + Sum( 1/3^j ,j=0..inf ) ]

und mit Sum(j/q^j ,j=0..inf) = q/(1-q)^2 und
Sum(1/q^j ,j=0..inf) = 1/(1-q) wird daraus:

R = G(1) * [ 2* 3/(1-3)² + 3/2 ]
= 1/2 *(2 * 3/4 + 3/2)
= 3/2

Gruß
Jodokus

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