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karo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 12:08: | 
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Hallo,
wie beweise ich für f(x) = sgn(x), dass die Funktion zwar intbar ist, aber keine Stammfunktion hat?
Gibt es noch andere Beispiele, die vielleicht einfacher sind?
Danke! |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 237
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 14:23: |
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karo :
Nimm an, f : x-> sgn(x), x in IR, besitze eine Stammfunktion F(x) d.h.:
F(x) differenzierbar und F'(x) = f(x) für alle
x in IR.
Nach Def. von sgn(x) müsste dann gelten
F(x) = x + a für x > 0, F(x) = x + b für x < 0,
wobei a,b Konstanten sind. Zunächst muss F an der Stelle 0 stetig sein, daraus folgt
F(0) = a = b. Kann dann F bei x = 0 differenzierbar sein ?
Die Differenzenquotientenfunktion an der
Stelle 0 ist
(F(x) - F(0)/(x - 0) = ( F(x) - a)/x
= 1 - a/x für x < 0 , und = -1 + a/x für x > 0.
Offenbar existiert lim[x->0]{(F(x) - a)/x}
für keine Wahl von a, d.h. es gibt kein F
der verlangten Art. Andererseits ist f trivialerweise integrierbar, denn f ist in IR-{0}
stetig , und hat bei 0 eine Sprungstelle
mit endlicher Sprunghöhe .
Das ist wohl das einfachste Beispiel dieser Art.
mfg
Orion |
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