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nonsense
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Mai, 2002 - 09:49: | 
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Hallo
Ich möchte von der unterstehenden Gleichung das Extremum im Ursprung bestimmen - mit dem Taylorapproximationspolynom ist das aber viel zu umständlich - evt. geht es ja durch Transformation in die Polarkoordinaten, leider komm ich dann auch nicht weiter:
f(x,y)=x^4 - 3x^3y^2 + 2x^2y^2 - 3x^2y^3 + y^4
Danke im Voraus
nonsense
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 192
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Mai, 2002 - 11:21: |
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f(x,y)=x^4 - 3x^3y^2 + 2x^2y^2 - 3x^2y^3 + y^4
1. d(f(x,y)/dx)=4*x^3-9*x^2*y^2+4*x*y^2-6*x*y^3=0
2. d(f(x,y)/dy)=-6*x^3*y+4*x^2*y-9*x^2*y^2+4*y^3=0
1. liefert:
x1=0
x2=(9/8*y+1/8*sqrt(81*y^2+96*y-64))*y
x3=(9/8*y-1/8*sqrt(81*y^2+96*y-64))*y
x1 in 2.
4y^3=0
y1=0
nun gilt es noch zu zeigen, dass es ein max. ist.
(die existenz einer wagerechten tangente bei x=y=0 ist gesichert)
es handelt sich um ein extremwert, wenn gilt:
d2(f(0,0)/dx^2)*d2(f(0,0)/dx^2)-[d(d(f(0,0)/dx)/dy]^2<0
dies führ aber nicht zu ziel.
durch betrachtung benachbarter funktionswerte kann man jedoch zeigen, dass ein minimum vorliegt.
MfG theo |
nonsense
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Mai, 2002 - 12:00: |
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Lieber Theo
Danke für die schnelle Antwort - könntest Du möglicherweise noch ein zwei Kommentare dazuschreiben (vor allem, was du in der ersten Hälfte gemacht hast, auch das warum)?
Vielen Danke im Voraus
nonsense |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 197
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Mai, 2002 - 13:41: |
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im ersten teil habe ich die partiellen ableitungen der funktion gebildet.
->einmal f(x,y) nach x und einmal nach y abgeleitet.
die fläche f(x,y) hat genau dann eine waagerechte tangente im Punkt x1,y1,f(x1,y1) wenn die partiellen ableitungen von f(x,y) nach x und f(x,y) nach y bei x1,y1 null werden.
man erhält:
1. d(f(x,y)/dx)=4*x^3-9*x^2*y^2+4*x*y^2-6*x*y^3=0
2. d(f(x,y)/dy)=-6*x^3*y+4*x^2*y-9*x^2*y^2+4*y^3=0
dieses gleichungssystem mus man jetzt lösen.
die von dir gewünschte lösung kann man ablesen.
x1=0,y1=0
die erkenntnis, dass beide partielle ableitungen für x1=y1=0 null werden, sichert die existenz einer waagerechten tangente an der fläche f(x,y).
die existenz eines extremwertes ist ist gesichert, wenn zusätzlich noch gilt:
d2(f(x1,y1)/dx^2)*d2(f(x1,y1)/dx^2)-[d(d(f(x1,y1)/dx)/dy]^2<0
diese bedingung ist nun leider nicht erfüllt und es bleibt uns nichts anderes übrig, als testwerte einzusetzen.
MfG theo
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