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Abschätzung

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Lars (lars300775)
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Moderator
Benutzername: lars300775

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 07:48:   Beitrag drucken

Hallo Leute, benoetige Eure Hilfe und zwar bei
folgendem Problem:
Es sei f diff'bare Funktion. Die Folge x(n) sei
bei gegebenem x(0) definiert durch:
x(n+1) = f(x(n))
Die Folge x(n) sei nicht fast konstant (d.h. es
gebe kein N aus IN, so dass x(k)=x(l) fuer alle
k, l > N). Man zeige:
Konvergiert x(n) gegen a, dann gilt:
|f'(a)|<=1

Waere schoen, wenn mir jemand dabei helfen koennte!
Viele Gruesse
Lars
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1097
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 21:18:   Beitrag drucken

Hi Lars,

hier die wesentlichen Ideen. Details bitte selbst machen oder noch mal nachfragen.

Da f stetig, ist
a = lim x(n) = lim x(n+1) = lim f(x(n)) = f(a).

Da f diffbar, ist
f '(a)
= lim (f(x(n)) - f(a))/(x(n) - a)
= lim (x(n+1) - a)/(x(n) - a)

Wäre f '(a) > 1, dann f '(a) > 1 + 2d für ein d > 0.

Somit für hinreichend großes n
(x(n+1) - a)/(x(n) - a) > 1 + d
<=>
x(n+1) - a > (1 + d)*(x(n) - a)

Also x(n) - a -> oo für n -> oo. Widerspruch.

Der Fall f '(a) < -1: ähnlich.

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