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Lars (lars300775)
Moderator Benutzername: lars300775
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 07:48: |
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Hallo Leute, benoetige Eure Hilfe und zwar bei folgendem Problem: Es sei f diff'bare Funktion. Die Folge x(n) sei bei gegebenem x(0) definiert durch: x(n+1) = f(x(n)) Die Folge x(n) sei nicht fast konstant (d.h. es gebe kein N aus IN, so dass x(k)=x(l) fuer alle k, l > N). Man zeige: Konvergiert x(n) gegen a, dann gilt: |f'(a)|<=1 Waere schoen, wenn mir jemand dabei helfen koennte! Viele Gruesse Lars |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1097 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 21:18: |
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Hi Lars, hier die wesentlichen Ideen. Details bitte selbst machen oder noch mal nachfragen. Da f stetig, ist a = lim x(n) = lim x(n+1) = lim f(x(n)) = f(a). Da f diffbar, ist f '(a) = lim (f(x(n)) - f(a))/(x(n) - a) = lim (x(n+1) - a)/(x(n) - a) Wäre f '(a) > 1, dann f '(a) > 1 + 2d für ein d > 0. Somit für hinreichend großes n (x(n+1) - a)/(x(n) - a) > 1 + d <=> x(n+1) - a > (1 + d)*(x(n) - a) Also x(n) - a -> oo für n -> oo. Widerspruch. Der Fall f '(a) < -1: ähnlich. |
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