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Beitrag |
    
Hubert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 23:11: | 
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Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen:
Welche Kantenlänge x,y,z hat ein offener rechteckiger Kasten minimaler Fläche von konstantem Fassungsvermögen V? Nachweis des Minimums!
Leider habe ich hier keine Idee wie ich dies am besten berechnen kann.
Hoffe da kann mir jemand weiterhelfen.
Vielen Dank
Hubert |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 184
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 17:04: |
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hier der ansatz, den ich wählen würde:
1.x*y*z=V
2.x*y+2*x*z+2*y*z=O(x,y,z)
z=V/(x*y)
einsetzen:
O(x,y)=x*y+2V/y+2V/x
partielle ableitungen:
d(O(x,y))/dx=y-2V/x^2=0
d(O(x,y))/dy=x-2V/y^2=0
y=2V/x^2 einsetzen
x-2V/(2V/x^2)^2=x-x^4/(2V)=0
x ungleich null liefert:
1-x^3/(2V)=0
x=(2V)^(1/3)
y=x
z=V/(x*y)=V/(2V)^(2/3)=v^(1/3)/2^(2/3)
jetzt zweite partielle ableitung bilden:
d2(O(x,y))/dx2=4V/x^3=O[xx](x,y)
d2(O(x,y))/dy2=4V/y^3=O[yy](x,y
und
d(d(O(x,y))/dx)/dy=1=O[xy](x,y)
es muss gelten nun ebenfalss gelten:
O[xx](x,y)*O[yy](x,y)-(O[xy](x,y))^2 > 0
2*2-1=3 >0 ->(eyistens eines extremwertes)
es ist ein minimum, da gilt:
O[xx](x,y)>0 , O[yy](x,y)>0 ,
lieg ein minimum vor!
MfG theo
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