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Beitrag |
    
Silke T.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 16:57: | 
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Seien c(0),........c(n) reele Zahlen, n E N
Zeige ist z E C Lösung der Gleichung:
z^n+ c(n-1)z^(n-1)+....+c(1)z + c(0) = 0
dann ist auch z´ Lösung!
z´ steht für z konjugiert
Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das zeigen soll! Bitte um Hilfe!
Gruß Silke |
Beatmaster V
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 17:24: |
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Damit z Lösung sein kann, müssen sich doch die Imaginärteile der Gleichung aufheben, da c E R.
Damit heben sich auch die negativen Imaginärteile(komplex konjugierte) auf. Man muss nur irgendwie zeigen, dass beim potenzieren nichts schiefgeht. Müsste aber so stimmen.
Gruß beatmaster V |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 168
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 17:38: |
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ich würde dies folgendermassen zeigen:
c(n)z^n+ c(n-1)z^(n-1)+....+c(1)z + c(0) = 0
nach vorraussetzung gilt diese gleichung für Z e C
sei z=|z|e^(phi*i)=|z|*(cos(phi)+i*sin(phi))
zu zeigen:
z*=|z|e^(-phi*i)=|z|*(cos(phi)-i*sin(phi))
ist dann ebenfalls eine lösung der gleichung.
nach vorrausetzung muss gelten:
sum[k=0..n](c(k)*|z|*cos(k*phi)=0
und
sum[k=0..n](c(k)*|z|*i*sin(k*phi)=0
hieraus folgt unmittelbar, das z* auch eine lösung ist, da auch gilt:
(-1)*sum[k=0..n](c(k)*|z|*i*sin(k*phi)=0
MfG Theo |
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