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Beitrag |
    
Tanja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 16:11: | 
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Hallo ihr da draußen,
kann mir vielleicht einer von euch weiterhelfen? Meine Aufgabe lautet: Wogegen konvergiert die rekursiv definierte Funktionenfolge: f1(x) = Wurzel(x), f2(x) = Wurzel(x+f1(x)) = Wurzel(x+Wurzel(x)), ..., fn(x) = Wurzel(x+fn-1(x)) |
Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 16:49: |
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Hi Tanja!
Für n->oo gilt:
f_n = sqrt(x + f_n)
und damit:
f_n = 1/2 + sqrt(1/4 + x)
Dass die Lösung f_n = 1/2 - sqrt(1/4 + x) entfällt,
sieht man daran, dass f_n < 0 würde für x>0.
Andererseits ist aber f_n = sqrt(x + f_{n-1}), also
eine Quadratwurzel, daher sicher nichtnegativ.
Für 0 < x < 1/4 wäre eine getrennte Untersuchung zu machen.
Unsere Formel gilt aber problemlos für x > 0.
Beispiel: x=3/4 liefert nach 21 Rekursionen
auf meinem Taschenrechner den Wert 1.5
Rechnerisch ergibt sich f_oo = 1/2 + sqrt(1) = 3/2
Gruß,
X. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 230
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 08:55: |
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Hallo Tanja, Xell :
Ich schreibe kürzer f(n) statt f_n(x).
Man muss natürlich erst einmal zeigen, dass
die Folge (f(n)) überhaupt konvergiert.
Dazu genügt der Nachweis, dass
1. (f(n)) monoton wachsend
und
2. (f(n)) nach oben beschränkt ist.
Ad1. : Aus der Rekursion folgt
f(n+1)-f(n) =
[f(n)-f(n-1)]/[sqrt(x+f(n)) + sqrt(x+f(n-1))].
Da der Nenner > 0 und f(1) - f(0) > 0
(man darf noch f(0):=0 definieren), folgt
induktiv f(n+1) > f(n) für alle n.
Ad 2.: Sei G := (1/2)(1 + sqrt(4x+1)).
Dann zeigt man wieder induktiv , dass
f(n) < G für alle n.
Erst jetzt weiss man, dass lim f(n) =: g existiert
und darf schliessen, dass g = sqrt(x+g).
Daraus ergibt sich dann g = G .
Bemerkung : Die Formulierung
"Für n->oo gilt f_n=sqrt(x+f_n)" ist anfechtbar.
mfg
Orion
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Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 12:47: |
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Hi Orion!
Meine unsaubere Formulierung bedeutet nichts anderes
als dein Ergebnis. Die Argumentation fehlt bei mir, da
ich hier im Uni-Niveau davon ausgegangen bin, dass der
Begriff der "unendlichen Potenzausdrücke" bzw. der Kettenbrüche
hier geläufig sei.
Inwiefern ist die Formulierung also anfechtbar, die Existenz
des Ausdrucks voraussetzend ?
Gruß,
X. |
Merlin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 13:55: |
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Hallo
Kann mir jemand bei dem Aufgabenteil b) zu der obrigen Aufgabe helfen?
Den Hinweis kann ich wohl nachvollziehen, aber dann...wozu nüzt er mir?
b) Auf jedem Intervall [a,b] mit 0<a<b konvergiert die Folge der f_n gleichmäßig gegen f, aber nicht auf [0,1].
(Hinweis: f^2 - (f_n+1)^2= f-f_n)
Merlin |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 232
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 18:10: |
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Hallo Xell :
Mir ist durchaus klar, was du sagen wolltest :
Wenn lim f_n existiert, dann muss gelten
lim f_n = sqrt(x + lim f_n).
Hingegen ist f_n = sqrt(x + f_n) für kein n
wahr, denn andernfalls wäre ja f_m = f_n
für alle m >=n , d.h. die Folge schliesslich
konstant, was nicht zutrifft (es sei denn es
wäre schon f(0) = g). Deine Formulierung ist
also für den Lernenden hochgradig
missverständlich und irreführend. Dabei
kommt es ja gerade im Zusammenhang
mit Grenzprozessen auf exakte Formulierungen an.
mfg
Orion |
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