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Beitrag |
    
Mona
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 22:37: | 
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Hallo
Ich habe ein Problem mit dem Beweis, dass die Reihe :
Summe[n=0,...,oo] (-1)^(n+1) *(sin x + n)/ n^2 für kein x aus R absolut konvergent ist.
Die Aufgabe raubt mir den letzten Nerv, da ich mit dem Majorantenkriterium abschätzen soll, aber einfach keine kleinere divergente Reihe finde, sondern nur konvergente.
Was mache ich falsch???
Mona
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 346
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 11:28: |
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BITTE WEITER HELFEN
ist (sin(x) + n) gemeint oder (sin(x+n))
das
1te würde eigentlich sinnlos sein,
da's
da schon mit n=0 erledigt ist [ -("sin(x)/0²" + "0/0²" ) ]
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Mona
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:12: |
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Hallo,
Ersteinmal DANKE für die schnelle Antwort.
Ja das erste ist gemeint.Kann ich das dann also für die absolute Konvergenz mit n =0 nach unten abschätzen und so zeigen, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist?
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Mona
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:13: |
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Hallo,
Ersteinmal DANKE für die schnelle Antwort.
Ja das erste ist gemeint.Kann ich das dann für die absolute Konvergenz mit n =0 nach unten abschätzen (also auch mit 0/0^2)und so zeigen, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist?
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 227
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:21: |
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Mona :
Der Absolutbetrag des n-ten Summanden
ist = |sin(x) + n|/n^2. Nun ist offenbar für alle x
|sin(x) + n| >= n - 1 denn -1 =< sin(x) =< 1 .
Daher gilt |sin(x) + n|/n^2 >= 1/n - 1/n^2.
Betrachten wir nun die N-te Teilsumme
S(N) := sum[n=1...N] |sin(x)+n|/n^2 ,
so ist also
S(N) >= sum[n=1...N](1/n) -
sum[n=1...N]1/n^2
Die 2. Summe konvergiert bekanntlich
für N->oo (gegen pi^2/6), die 1. Summe
ist bestimmt divergent (harmonische
Reihe !). Somit gilt S(N) ->oo für N->oo.
P.S.: Noch einfacher : n-1 >= (1/2) n für
n >= 2 ==> S(N) >= (1/2)(1+1/2+...+1/N) .
mfg
Orion |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 347
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:28: |
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@orion:
ich meine, die Aufgabe ist überhaupt eine Gemeinheit:
es ist doch imer schon der 1te Summand (n=0)
Unendlich.
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 228
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 16:11: |
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Sinnvollerweise sollte es natürlich
sum[k=1...oo] heissen. Ansonsten ist die Aufgabe eher trivial. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 229
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 16:15: |
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Sinnvollerweise sollte es natürlich
sum[k=1...oo] heissen. Ansonsten ist die Aufgabe eher trivial. |
Markus
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 07:19: |
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Hab die Aufgabe auch und es heißt tatsächlich n=1 bis oo.
Dann ist es ja nich so trivial.Hättet ihr auch dazu nen Tipp? |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 234
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 17:18: |
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Markus :
"Ansonsten" ist gemeint im Sinne von
"abgesehen davon". Ich finde die Aufgabe
tatsächlich nicht furchtbar schwierig
(das Wort "trivial" sollte man ja nicht
benutzen, sorry !).
mfg
Orion
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