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Beitrag |
    
Ben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 12:23: | 
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Die Abbildung g: Mn(R)->Mn(R) sei definiert durch:
g(A):=tA - A für AeMn(R)
Bemerkung: tA ist die transponierte Matrix
a)Beweise, dass g R-linear ist
b)bestimme die Dimensionen von Kern(g) und Bild(g)
c)Untersuche, ob g injektiv oder surjektiv ist |
Kirk (kirk)
Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 19:04: |
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Hi Ben,
kannst du uns vielleicht an den Überlegungen teilhaben lassen, die du dir schon dazu gemacht hast? (Es ist ja nicht einfach, hier Matrizen darzustellen, insofern wäre es sehr mühsam eine vollständige Lösung zu schreiben.)
Die Linearität sollte kein Problem sein und injektiv ist die Abbildung bestimmt nicht, da jede zur Diagonalen symmetrische Matrix auf die Nullmatrix abgebildet wird.
Grüße,
Kirk
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Ben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:54: |
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meine Überlegungen zu A sind ziemlich dürftig glaub ich:
g(A+A') = (tA-A+tA'-tA') = (tA-A)+(tA'-A')=
g(A)+g(A')
und bei der zweiten Bedingung genauso.
b) und c) hab ich nicht mal Ansätze. |
Kirk (kirk)
Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 21:07: |
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Hi Ben,
a) ist schon ok so.
Für den Kern überleg mal, welche Matrizen auf die Nullmatrix abgebildet werden: Es sind alle zur Diagonalen symmetrischen. Wenn du verstanden hast, warum die Dimension des ganzen Matrizenraums n^2 ist, wird dir auch schnell einleuchten , dass der Kern die Dimension n^2/2+n/2 hat.
Für die Dimension des Bildes verwendest die allgemeine Formel dimKern + dimBild = dimAusgangsraum.
Also dimBild = n^2-n^2/2-n/2.
c) ist damit praktisch erledigt: Injektiv kann die Abbildung nicht sein, da dimKern>0 und surjektiv auch nicht, da dimBild < n^2.
Grüße,
Kirk
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