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injektive Abbildung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Abbildungen » injektive Abbildung « Zurück Vor »

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sarah (kueken20)
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Neues Mitglied
Benutzername: kueken20

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 12:16:   Beitrag drucken

Seien m,neN. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) Es gilt n kleienr gleich m
b) Es existiert eine injektive R-lineare Abbildung R^n -> R^m
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Kirk (kirk)
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Mitglied
Benutzername: kirk

Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 19:10:   Beitrag drucken

Hallo Sarah,

a)=>b) ist ganz einfach: Bilde x auf x ab.

b)=>a) Ich meine, es gilt folgendes: Ist f lineare Abbildung von einem n-dim. Raum in einen anderen, so gilt n=dimKerf + dimImf. Es möge mich jemand korrigieren, falls das falsch ist, LA ist schon ewig her.
Dann argumentierst du so: injektiv => dimKer=0 => dimIm=n => n<=m

Grüße,
Kirk
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STEVENERKEL
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 00:03:   Beitrag drucken

Hallo Kirk,
ich bestätige dies nur:
n=dimKerf + dimImf

Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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sarah (kueken20)
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Neues Mitglied
Benutzername: kueken20

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 11:12:   Beitrag drucken

danke erstmal. von b=>a, kann ich bis auf den letzten Schritt nachvollziehen, aber ich verstehe nicht wie ich x auf x abbilden soll in dem Schritt von a=>b :o(
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Kirk (kirk)
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Mitglied
Benutzername: kirk

Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:41:   Beitrag drucken

Meinst du mit dem letzten Schritt dimIm=n => n<=m? Das gilt, weil ja dimIm ein Teilraum von R^m ist. Seine Dimension muss kleiner oder gleich der Dimension von R^m sein.

Meine Formulierung "bilde x auf x ab" war nicht gut, insofern kann ich die Verständnisschwierigkeiten nachvollziehen.

Ich habe den R^n gleich als Teilraum des R^m interpretiert. Das kann man machen, wenn man (x1, ..., xn) mit (x1, ..., xn, 0, ..., 0) aus R^m identifiziert. (Man füllt also die fehlenden Stellen mit Nullen auf.)

Ich hätte schreiben sollen: Bilde (x1, ..., xn) auf (x1, ..., xn, 0, ..., 0) ab.

Grüße,
Kirk


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