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Christian (bert2)
Junior Mitglied
Benutzername: bert2
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 16:58: | 
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Hallo ,
ich habe folgendes Problem :
91x^2-24xy+84y^2
dies ist eine Elipse, und ich suche den Brennpunkt, Mittelpunkt und die Halbachsen.
Da ich aber die passende Formel(n) nicht gefunden habe, hoffe ich dass Ihr eine gute und recht einfache Formel habt, um dieses Problem zu lösen.
Vielen Dank im Voraus
Bert2 |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 216
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 18:43: |
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Christian :
Zunächst steht hier noch keine Gleichung (rechte
Seite = ?), also nehmen wir mal an, sie laute
(1) 91x^2 - 24xy + 84y^2 = k^2.
Führen wir die Matrix
(2) A := ([91,-12],[-12,84]) (lies zeilenweise)
und den Vektor r := (x,y)^t (^t für transponiert)
ein, so lautet (1) in Matrixform
(3) r^t A r = k^2.
Die charaktreistische Gleichung von A heisst
L^2 - 175 L + 7500 = 0, die Eigenwerte sind also
100 und 75. Dazu bestimmen wir jeweils einen
normierten Eigenvektor und erhalten
(4/5 , 3/5) bzw. (-3/5 , 4/5). Diese Vektoren
bilden die Spalten der Transformationsmatrix (Drehmatrix) D :
(4) D = ([4/5 , 3/5] , [-3/5 , 4/5]).
Rechne nach, dass tatsächlich
(5) D^t A D = diag(100,75)
Führt man also die Koordinatendrehung
(6) r' = D^t r <==> r = D r'
d.h.:
x = (4x' + 3y')/5 , y = (-3x' + 4y')/5
aus, so lautet (3) in den neuen Koordinaten
(7) (r')^t diag(100,75) r' = k^2
d.h.
(8) 100 x'^2 + 75 y'^2 = k^2.
Die Hauptachsen der Ellipse sind die x' - bzw.
y' - Achse.
Das ganze nennt sich Hauptachsentransformation.
mfg
Orion
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