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Kay Schönberger (kay_s)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 70 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 10:03: |
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Hallo! Folgendes Problem: Sei p eine Primzahl und sei Beweisen Sie, daß gilt. Hierbei ist N(z) = N(a + bi) = a² + b² die Norm der komplexen Zahl z. Kay S. |
egal
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 13:11: |
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a) geometrische Reihe: Sp = (1-i)*((1+i)p-1) b) elementare Umformung: N(Sp)-2 = -4*cos(p*p/4)*2p/2+2p+1 c) 1.Fall: p = 2 N(S2)-2 = 8 ist durch 2 teilbar. 2.Fall: p = 4k-1 , k>0 N(Sp)-2 = 22k+1*(22k-1 - (-1)k) zeige: p teilt den Klammerausdruck 22k-1 - (-1)k = 2(p-1)/2 - (-1)k Euler Kriterium: 2(p-1)/2 = (-1)(p²-1)/8 = (-1)2k²+k = (-1)k (mod p) also 22k - (-1)k = 0 (mod p) 3.Fall: p = 4k+1 , k>0 N(Sp)-2 = 22k+2*(22k - (-1)k) 22k - (-1)k = 2(p-1)/2 - (-1)k wie 2.Fall
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