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Teilbarkeit

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Kay Schönberger (kay_s)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kay_s

Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 10:03:   Beitrag drucken

Hallo!

Folgendes Problem:
Sei p eine Primzahl und sei

1

Beweisen Sie, daß

2

gilt. Hierbei ist N(z) = N(a + bi) = a² + b² die Norm der komplexen Zahl z.

Kay S.
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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 13:11:   Beitrag drucken

 
a) geometrische Reihe: Sp = (1-i)*((1+i)p-1)

b) elementare Umformung: N(Sp)-2 = -4*cos(p*p/4)*2p/2+2p+1

c) 1.Fall: p = 2
N(S2)-2 = 8 ist durch 2 teilbar.

2.Fall: p = 4k-1 , k>0
N(Sp)-2 = 22k+1*(22k-1 - (-1)k)
zeige: p teilt den Klammerausdruck
22k-1 - (-1)k = 2(p-1)/2 - (-1)k
Euler Kriterium: 2(p-1)/2 = (-1)(p²-1)/8 = (-1)2k²+k = (-1)k (mod p)
also 22k - (-1)k = 0 (mod p)

3.Fall: p = 4k+1 , k>0
N(Sp)-2 = 22k+2*(22k - (-1)k)
22k - (-1)k = 2(p-1)/2 - (-1)k
wie 2.Fall

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