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Walter Grillenberger
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 11:33: | 
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Guten Tag, Forum !
Bin leider in Mathe nicht gerade gut und bis morgen soll ich die folgende Aufgabe lösen:
Beweisen Sie die Verallgemeinerung der De-Morgan Regeln für die folgenden beiden Fälle (Hinweis: Verwenden Sie die Induktion über n):
(a1+a2+...+an)' = a1'*a2'*...*an'
(a1*a2*...*an)' = a1'+a2'+...+an'
' bedeutet negiert
Leider ist in den Skripten der Vorlesung nichts über Induktion zu finden und ich bin schön völlig verzweifelt, weil ich das bis morgen wissen muß ! Bitte helft mir (was bedeutet Induktion über n ?) !!! |
Dea
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 12:53: |
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Hallo Walter,
wie Induktionsbeweise gemacht werden und warum sie funktionieren (Peano-Axiome) findest Du in Skripten zur Analysis (1.Semester). Hier nun aber die Lösung für Dein Problem:
a) (a1+a2+...+an)'=a1'*a2'*...*an'
1. Induktionsanfang
(obige Formel funktioniert für kleinstes n, hier n=2):
(a1+a2)'=a1'*a2', logisch, ist ja das Gesetz von De Morgan
2. Induktionsannahme
(a1+a2+...+an)'=a1'*a2'*...*an'
3. Induktionsschritt
(Beweis dafür, daß es auch für n+1 funktioniert)
(a1+a2+...+an+a(n+1))'=a1'*a2'*...*an'*a(n+1)'
Denke Klammern (assoziativ!)
((a1+a2+...+an)+a(n+1))'=(a1'*a2'*...*an')*a(n+1)
nun stehen zwei Teile in der vorderen Klammer, auf diese kann man nun De-Morgan anwenden:
((a1+a2+...+an)+a(n+1)'=(a1+a2+...+an)'*a(n+1)'
nach 2. (Induktionsannahme) gilt:
(a1+a2+...+an)'=a1'*a2'*...*an'
damit
(a1+a2+...+an)'*a(n+1)'=a1'*a2'*...*an'*a(n+1)'
zusammengefaßt:
(a1+a2+...+an+a(n+1))'=a1'*a2'*...*an'*a(n+1)', q.e.d.
mit Teil b) geht das genauso. |
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