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Beitrag |
    
Tristan M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 07:51: | 
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Hallo
Eine dieser beiden Gleichungen in C soll ich explitit lösen, dabei hab ich doch keine Ahnung von komplexen Zahlen! (in der Schule hieß es nur: „Es gibt die Menge C, muss uns aber nicht interessieren!“)
[z^4 + z^2 + 1]*[z^4 – z^2 +1] = 0
z^5 = 1
Gruß T |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 130
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 12:10: |
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z^4 – z^2 +1 = 0
liefert -1/2*sqrt(2+2*I*sqrt(3)), 1/2*sqrt(2+2*I*sqrt(3)), -1/2*sqrt(2-2*I*sqrt(3)), 1/2*sqrt(2-2*I*sqrt(3))
(substituiere z^2=x)
z^4 + z^2 + 1=0
liefert -1/2+1/2*I*sqrt(3), -1/2-1/2*I*sqrt(3), 1/2+1/2*I*sqrt(3), 1/2-1/2*I*sqrt(3)
(gleiche substitution)
z^5=1
1,
-1/4+1/4*sqrt(5)+1/4*i*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5)),
-1/4-1/4*sqrt(5)+1/4*i*sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5)),
-1/4-1/4*sqrt(5)-1/4*i*sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5)),
-1/4+1/4*sqrt(5)-1/4*i*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))
MfG Theo |
Tristan M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 17:45: |
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Ich danke dir vielmals, aber könntest du vielleicht noch ein bißchen genauer schreiben, wie du drauf kommst? Wie schon gesagt: Ich hab keine Ahnung von Komplexen Zahlen und mein Prof ist in der Vorlesung immer noch bei der Einführung....................!!!
Danke nochmal, T. |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 19:48: |
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[z^4 + z^2 + 1]*[z^4 – z^2 +1] = 0
stell ein produkt dar, also:
<=>[z^4 – z^2 +1]=0
<=>[z^4 + z^2 + 1]=0
substituiere nun z^2=x (biquadratische gleichungen), das liefert:
1. x^2-x+1=0
2. x^2+x+1=0
zu 1.
x1,2=0,5+-sqrt(0,25-1)=0,5+-sqrt(-3/4)=0,5+-sqrt(-3)/2==0,5+-i*sqrt(3)/2
resubstitution: z1,2=+-sqrt(0,5+i*sqrt(3)/2)
z3,4=+-sqrt(0,5-i*sqrt(3)/2)
oder nach rationalmachen des neners (siehe erster beitrag)
zu 2.
x3,4= -1/2+-1/2*i*sqrt(3)
resubstitution:
z5,6=+-sqrt(-1/2+1/2*i*sqrt(3))
z7,8=+-sqrt(-1/2-1/2*i*sqrt(3))
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 00:57: |
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über z.b. den ansatz:
(a+bi)^2=-1/2+1/2*i*sqrt(3) kann man die aus drücke noch vereinfachen
bei der zweiten aufgabi einfach in polarform umwandeln und dann die einzelnen ergebnisse ausrechnen.
MfG theo |
Tristan M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 17:30: |
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Na, Ok! Danke vielmals! Die Vereinfachung scheint notwendig zu sein (weil 8 Pkt.)
Könntest du mir nur den Term bei der Zweiten mal als Polarform hinschreiben, als Absicherung so zu sagen!
Danke im Vorraus! Gruß T. |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 155
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 21:26: |
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z^5=1
sei z* eine lösung der gleichung:
z*=|z*|*e^(phi)
dann gilt:
(z*)^5=|z*|^5*e^(5*phi)=1
aus einem strukturvergleich folgt:
|z*|=1
e^(5*phi)=e^(0+k*2pi)
phi=k*2pi/5 k=0,1,2,3,4
die lösungen stellen die eckpunkte eines regelmässigen 5-ecks dar.
MfG Theo
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 156
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 21:37: |
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und nochmal zu den wurzel bei der ersten aufgabe,
es ist warscheinlich doch einfache in polarform umzuwandeln und dann die wurzel zu ziehen!
MfG theo |
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