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Beitrag |
    
anja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 13:47: | 
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Brauche Hilfe:
Die Folge (f_n) sei rekursiv definiert durch f_0:=0 und f_n+1:= (f^2)_n + 1/4
(schreibe f_0 für f index 0)
Zeige: die Folge (f_n) ist streng monoton wachsend und nach oben beschränkt und bestimme ihren Limes. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 214
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 14:38: |
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anja :
Ich nehme an (f^2)_n := (f_n)^2 ? Dann gilt
(1) f_n > 0 für alle n
(2) f_(1) - f_0) = 1/4 > 0
(3)f_(n+1) - f_n = [f_n - f_(n-1)][f_n + f_(n-1)].
Aus (1) - (3) folgt induktiv: f_(n+1) > f_n für alle n.
Ebenso zeigst du mittels Induktion : f_n < 1/2
für alle n.
Die Monotonie- und Beschränktheitsaussage impliziert die Existenz von g := lim f_n.
Für g muss gelten :
g = g^2 + 1/4 ==> g = 1/2
mfg
Orion
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Helld
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 14:37: |
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Hey Orion !
Wie kommst Du auf deine (3) Aussage. Die kann ich wirklich nicht nachvollziehen !!!
Gruß, Helld |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 226
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 14:55: |
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Helld :
f_(n+1) = (f_n)^2 + 1/4 , f_n_ =(f_(n-1))^2 + 1/4
Subtrahiere die 2. Gl. von der 1. Gl. und
bedenke, dass a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
mfg
Orion |
Helld
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 18:01: |
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Klingt logisch und sieht auch noch simpel aus. Hätte man selbst drauf kommen können :-)
Danke dir |
