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Erich L.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 20:25: |
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Hallo Mit dieser Aufgabe über eine unendlich Reihe komme ich nicht zurecht. Man weise nach, dass die Reihe mit dem allgemeinen Glied an = sin(nx) /n^2 ( n = 1 bis unendlich) absolut und gleichmässig konvergiert. Wer kann mir helfen ? Vielen Dank im voraus . MfG Erich
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 21:55: |
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Hi Erich, Wir nehmen die Reihe mit dem allgemeinen Glied bn = 1/ n^2 ( n = 1 ad infinitum) zu Hilfe, die bekanntlich konvergiert ; ihre Summe ist S = Zeta(2) = Pi^2 / 6. cn sei die Reihe, die entsteht, wenn man in der von Dir gegebenen Reihe sum(an) alle Glieder durch ihren Absolutbetrag ersetzt; es gilt also cn = abs(an). Es leuchtet sofort ein, dass die Reihe der bn für alle Werte von x eine (konvergente) Majorante darstellt. Schluss: die Reihe der an ist absolut konvergent. Aus der Konvergenz der Reih der bn folgt, dass eine natürliche Zahl m bestimmte werden kann, derart dass 1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2+1/(n+3)^2 +......< eps gilt für jedes n > = m; weiterhin: für jeden Wert von x gilt abs[{ sin {(n+1) x }/(n+1)^2+ sin {(n+2) x})/(n+2)^2 + ........] < = 1 / (n+1)^2 + 1 / (n+2)^2 + 1/(n+3)^2 +............. Folgerung Für jedes x gilt: abs[{sin {(n+1) x }/(n+1)^2+{sin (n+2) x})/(n+2)^2 + ..] < eps Da die Schranke eps nicht von x abhängig ist, gilt somit gleichmässige Konvergenz. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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