Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

gleichmässige Konvergenz feststellen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » gleichmässige Konvergenz feststellen « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Erich L.
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 20:25:   Beitrag drucken

Hallo

Mit dieser Aufgabe über eine unendlich Reihe
komme ich nicht zurecht.
Man weise nach, dass die Reihe
mit dem allgemeinen Glied
an = sin(nx) /n^2 ( n = 1 bis unendlich)
absolut und gleichmässig konvergiert.
Wer kann mir helfen ?
Vielen Dank im voraus .

MfG
Erich
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

H.R.Moser,megamath
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 21:55:   Beitrag drucken

Hi Erich,

Wir nehmen die Reihe mit dem allgemeinen
Glied
bn = 1/ n^2 ( n = 1 ad infinitum) zu Hilfe,
die bekanntlich konvergiert ; ihre Summe ist
S = Zeta(2) = Pi^2 / 6.
cn sei die Reihe, die entsteht, wenn man in der
von Dir gegebenen Reihe sum(an) alle Glieder
durch ihren Absolutbetrag ersetzt; es gilt also
cn = abs(an).

Es leuchtet sofort ein, dass die Reihe der bn
für alle Werte von x eine (konvergente) Majorante
darstellt.
Schluss: die Reihe der an ist absolut konvergent.

Aus der Konvergenz der Reih der bn folgt,
dass eine natürliche Zahl m bestimmte werden
kann, derart dass
1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2+1/(n+3)^2 +......< eps
gilt für jedes n > = m; weiterhin:
für jeden Wert von x gilt
abs[{ sin {(n+1) x }/(n+1)^2+ sin {(n+2) x})/(n+2)^2 + ........]
< = 1 / (n+1)^2 + 1 / (n+2)^2 + 1/(n+3)^2 +.............
Folgerung
Für jedes x gilt:
abs[{sin {(n+1) x }/(n+1)^2+{sin (n+2) x})/(n+2)^2 + ..] < eps
Da die Schranke eps nicht von x abhängig ist,
gilt somit gleichmässige Konvergenz.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page