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Geena 9!
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 16:21: | 
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Servus!
Hab ein Problem, hab in der Schule nie was mit komplexen Zahlen gemacht und soll diese Aufgabe lösen:
Beschreiben sie geometrisch die Teilmengen von C:
a) {z E C| z=a+tb; t E R} (a,b E C)
b) {z E C| Re z/a < 1} ( a E C; a ungleich 0}
c: {z E C| |z-1| = Re z}
d: {z E C| |z-i| + |z+i| = 4}
Ich wäre für jeden Tipp dankbar! Wenns geht vielleicht sogar noch heute?????
Gruß Geena |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 23:14: |
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Hallo Geena,
stelle dir die komplexen Zahlen als Vektoren in der komplexen Ebene vor. Dann kommst du direkt drauf, dass a) eine Gerade durch a mit dem Richtungsvektor b beschreibt.
Für b) gegebenenfalls (z/a) so umschreiben ( betrachet z=Re(z)+i*Im(z), analoges für die komplexe Zahl a), so dass du direkt den Realteil ablesen kannst:
z/a=[Re(z)+i*Im(z)]/[Re(a)+i*Im(a)]=...
=x+i*y
Dann ist Re(z/a)=x
( Beispiel: Sei z=2+i, a=7-3i, b=z/a.
Dann ist b=(2+i)/(7-3i)=(2+i)(7+3i)/[(7+3i)(7-3i)]=(14+6i+7i+3i^2)/(7-9i^2)=(14+13i-3)/(7-9*(-1))
=(11+13i)/(49+9)=(11/58)+(13/58)*i
Dann ist Re(b)=Re(z/a)=11/58
Solche Umformungen könnten helfen, und die Betrachtung von Vektoren in R^2 mit Komponenten (Re(t),Im(t)) mit t=Re(t)+i*Im(t)
Wenn ich mich nicht ganz vertan hab, hilft bei Aufgabe 2 auch das Skalarprodukt von Vektoren, habs aber selber noch nicht ganz raus...
Vielleicht mach ich morgen weiter. Bis wann brauchst du es denn ?
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 23:22: |
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Also doch noch:
Wenn ich mich bei Aufgabe b nicht ganz vertan hab, beschreibt das folgendes:
Fälle das Lot von z auf die Gerade durch (0,0) mit dem Richtungsvektor a. Der Fußpunkt [heißt doch so, oder?] ( bzw. Schnittpunkt mit dieser Geraden) legt einen Kreis fest mit dem Radius |z|*cos(Winkel(a,z)). Das innere (ohne den Rand !!!) ist die beschriebene Menge...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 00:21: |
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c)
Würdest du das im kartesischen KO-System des R^2 zeichnen, so wäre das die Funktion:
y=+-Wurzelaus(2-x),
sofern ich mich nicht verrechnet habe...
Zeichne das in ein solches System, und schreibe anstatt der 1 das i an die y-Achse !
d) Mache ich morgen. Meine Lösungswege gebe ich dir auch morgen, wenn ich es :
1. nicht vergesse
2. du nicht alleine drauf kommst
3. Ich nicht starke Denkfehler habe und mir jemand zeigt, dass meine Wege komplett falsch sind ??? Mach dies auch zum ersten mal, wir hatten andere Mengen zu beschreiben...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 00:23: |
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y=+-Wurzel(2x-1) sollte es heißen, Sorry !!!
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 11:40: |
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LÖSUNGSWEGE:
Also, Aufgabe a)
Betrachte
a=Re(a)+i*(Im(a))
b=Re(b)+i*(Im(b))
Dann kannst du die Vektoren in der komplexen Ebene ( kartesisches KO-System mit imaginärer Einheit auf y-Achse (analog R^2)) folgendermaßen beschreiben:
z=(Re(a),Im(a))+t*(Re(b),Im(b))
Das ist eine Geradengleichung durch (Re(a),Im(a)) mit dem Richtungsvektor (Re(b),Im(b))...
b) Ich setze Re(z)=c, Im(z)=d
Re(a)=e, Im(a)=f
Also z=(c,d); a=(e,f)
Dann ist z/a=(c+i*d)/(e+i*f)=(c+i*d)*(e-i*f)/(e+i*f)*(e-if)={(c*e+d*f)/[e^2+f^2]}+{i/[e^2+f^2]}*(d*e-f*c)
=>
Re(z/a)=(c*e+d*f)/[e^2+f^2]=?
Betrachte nun das Skalarprodukt ( bezeichnet mit (*) im R^2 ( nicht Produkt von komplexen Zahlen in der komplexen Ebene), dann gilt im R^2:
Re(z/a)=(c,d)(*)(e,f)/|a|={|z|*|a|*cos(Winkel(z,a))}/|a|=|z|*cos(Winkel(z,a))
BEACHTE NUN MEINEN FEHLER:
Die geometrische Interpretation ( mit dem Lot von z auf a gefällt usw.) ist schon richtig, nur soll dieses IN den EINHEITSKREIS (Kreis um (0,0) mit Radius 1) fallen...
SO, gleich noch die anderen beiden Aufgaben...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 11:50: |
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c) {z E C| |z-1| = Re z}
Sei z=x+iy mit x=Re(z), y=Im(z)
Dann soll gelten:
|x+iy-1|=x
<=>
|(x-1)+i*y|=x [*]
<=>
Wurzelaus[(x-1)^2+y^2]=x
=>
x^2-2x+1+y^2=x^2
<=>
y^2=2x-1
=> Behauptung
Vielleicht muss man wegen [*] noch Spezialfälle berücksichtigen, ich sehs jetzt leider nicht, denn y^2=2x-1 bedingt ja, x>=(1/2), und [*] fordert ja x>=0, also ist diese Bedingung erfüllt, demnach müßte sich der => durch <=> erezten lassen, aber bitte selber nochmal kontrollieren...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 12:01: |
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d) {z E C| |z-i| + |z+i| = 4}
Sei wieder z=x+iy =>
|z-i| + |z+i| = 4
<=>
|x+iy-i|+|x+iy+i|=4
Wurzelaus(x^2+(y-1)^2)+Wurzelaus(x^2+(y+1)^2)=4
=>
x^2+(y^2-2y+1)+2*Wurzel([x^2+(y-1)^2]*[x^2+(y+1)^2])+x^2+(y^2+2y+1)=4
So, nun folgendes:
Bring den Wurzeltherm auf eine Seite, den Rest auf die andere Seite der Gleichung durch Äquivalenzumformungen. Mach den => und Quadriere die Gleichung ( <=> noch nicht erlaubt ). Rechne ein bisschen hin- und her und schau, wann du die 2 => durch <=> ersetzen darfst. Versuch, das Ergebnis geometrisch zu interpretieren. Sorry, ich hoffe, du verzeihst, dass ich jetzt hier zu faul dazu bin...
Vielleicht hilft ja sonst noch jemand weiter ?
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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Geena 9!
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 18:03: |
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Ist schon gut! StevenErkel das reicht eigentlich schon vollkommen! Danke dass du Dir so viel Arbeit gemacht hast!!!!!!!!##
Gruß Geena |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 20:00: |
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No Prob !
Was kommt denn bei d) raus ? Hatte immer noch keine Lust, mir es zu überlegen...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
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