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Beitrag |
    
Christian (bert2)
Neues Mitglied
Benutzername: bert2
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 09:14: | 
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Hallo,
ich kann mit folgender Aufgabe einfach nichts anfangen, kennt Ihr mir helfen ???
Durch die Punkte A1=(0,-6,3) und A2(1,-4,4) bzw. B1(-2,3,5) und B2 (-3,4,6) sind zwei Geraden festgelegt !!
Welcher Punkt C liegt den beiden Geraden am nächsten ???
Vielen Dank
bert2
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Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 19:37: |
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Hi Christian!
Ich verstehe die Aufgabe so, dass du den Punkt C so bestimmen
sollst, dass die Summe der Abstände zu den beiden Geraden
minimal wird. Also: Funktion für die Summe der Abstände
aufstellen und auf Minimumstellen untersuchen.
Viel Erfolg!
Gruß,
X. |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 02:06: |
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g1: x=A1+s*(A2-A1)
g2: x=B1+t*(B2-B1)
s,t aus R, x aus R^3
Nun stellst du damit die Geradengleichungen auf. Dann nimmst du einen zunächst beliebigen Punkt C:=(c1,c2,c3) aus dem R^3. Nun stellst du 2 Ebenen damit auf:
E1, in dem du als senkrechten Vektor auf die Ebene den Richtungsvektor (A2-A1) der Geraden g1 nimmst und sagst, dass C in der Ebene liegen muss. Nun berechnest du den Schnittpunkt von E1 mit g1. Analoges für eine 2e Ebene, auf die der Richtungsvektor (B2-B1) von g2 senkrecht steht und die auch C als Punkt enthält. Nun berechnest du den Schnittpunkt von E2 mit g2. Nun berechnest du den Abstand des ersten Schnittpunkts (E1 mit g1) zu dem Punkt C; und danach den Abstand des zweiten Schnittpunktes (E2 mit g2) zu dem Punkt C. Diese Abstände addierst du, und guckst, wann wird diese Summe betragsmäßig minimal....
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Jodokus
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 02:29: |
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Hallo allerseits,
ich würde das Lotfußpunktverfahren vorschlagen:
Gerade durch A1 und A2 hat Richtungsvektor
(0-1,-6+4,3-4) = (-1,-2,-1)
Gerade durch B1 und B2 hat Richtungsvektor (-2+3,3-4,5-6) = (1,-1,-1)
eine Parameterdarstellung der Geraden durch A1 und A2 lautet:
x = (0,-6,3) + s*(1,2,1) mit s€IR
nun noch eine Parameterdarstellung der Geraden durch B1 und B2:
x = (-2,3,5) + r*(1,-1,-1) mit r€IR
ein Verbindungsvektor beider Geraden ist die Differenz dieser Vektoren:
(0,-6,3) + s*(1,2,1) - [(-2,3,5) + r*(1,-1,-1)]
= (0+2+s-r, -6-3+2s+r, 3-5+s+r)
= (2+s-r, -9+2s+r, -2+s+r)
Dieser Verbindungsvektor muss auf den beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen:
(2+s-r, -9+2s+r, -2+s+r) * (1,2,1) = 0 und
(2+s-r, -9+2s+r, -2+s+r) * (1,-1,-1) = 0
umgeformt zu:
2+s-r -18+4s+2r -2+s+r = 0 und
2+s-r +9-2s-r +2-s-r = 0
vereinfacht zu
-18+6s+2r = 0 und
13-2s -3r = 0 |*3 => 39-6s-9r = 0, addieren
21 -7r = 0 => r=3 => s=2
die Lotfußpunkte ergeben sich durch Einsetzen von r und s in die Parameterdarstellung beider Geraden:
x = (0,-6,3) + 2*(1,2,1) = (2, -2, 5)
x = (-2,3,5) + 3*(1,-1,-1) = (1, 0, 2)
Der Ortsvektor zum Mittelpunkt C zwischen beiden Lotfußpunkten ergibt sich zu:
½[(2, -2, 5)+(1, 0, 2)] = (1.5 ,-1, 3.5)
Man kann natürlich auch dem Vorschlag folgen, den Abstand von beiden Geraden auf eine Minimalstelle zu untersuchen:
dazu die Länge L(r,s) des Verbindungsvektors
|(2+s-r, -9+2s+r, -2+s+r)| minimieren:
L(r,s) einmal (partiell) nach r, das andere Mal (partiell) nach s ableiten:
L(r,s) = sqrt( (2+s-r)² + (-9+2s+r)² + (-2+s+r)² )
(Bemerkung: da beim Ableiten einer Wurzelfunktion nach der Kettenregel die Ableitung des Radikanden im Zähler steht, reicht es, den Radikanden abzuleiten)
also:
f(r,s) = (2+s-r)² + (-9+2s+r)² + (-2+s+r)²
ðf/ðr = -26 + 4s + 6r
ðf/ðs = -36 + 12s + 4r
jeweils gleich Null setzen führt wieder auf r=3 und s=2.
Also wieder zu den Lotfußpunkten (2, -2, 5) und (1, 0, 2) und damit wieder zu C(1.5|-1|3.5)
Grüße, Jodokus
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 20:28: |
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Finde ich ziemlich einleuchtend und einfach, dass Lotfußpunktverfahren. Auch wenn ich mich nicht dran erinnere, es jemals gehört zu haben. Ist aber leicht nachzuvollziehen...
Würde es empfehlen.
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
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