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marc
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 10:48:   Beitrag drucken

x°1=x1 -2*x2 und x°2 =5*x1 -5*x2 , gesucht ist die allgemeine lösung dieses dgl-systems.
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orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 213
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 16:51:   Beitrag drucken

marc :

Lösungshinweis :

Das System lautet in Matrixform

x'(t) = A x(t) mit x(t) = (x_1(t),x_2(t))^T

(T für transponiert). Hier ist

A = matrix([[1,-2],[5,-5]]).

Allgemein gilt : ist l = r + is ein komplexer
Eigenwert von A und w = u + iv ein zugehöriger Eigenvektor , also Aw = l w,
so ist x(t) = y(t) + i z(t) = e(lt) w eine Lösung des Systems (Rechne nach !).
Wegen der Linearität ist dann auch die
komplex-konjugierte x*(t) = e^(l* t) w* eine
Lösung , und damit auch Real-und Imaginärteil y(t) und z(t) von x(t). Rechne nach,
dass

y(t) = (e^rt){u cos(st) - v sin(st)}

z(t) = (e^rt){u sin(st) + v cos(st)}

Man hat also nur noch die Eigenwerte und
Eigenvektoren von A zu ermitteln. Rechne nach, dass

l_1 = -2 + i , w_1 = (2 , 3-i)^T

l_2 = -2 - i , w_2 = (-2 , 3+i)^T.

mfg

Orion


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