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marc
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 10:48: |
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x°1=x1 -2*x2 und x°2 =5*x1 -5*x2 , gesucht ist die allgemeine lösung dieses dgl-systems. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 213 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 16:51: |
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marc : Lösungshinweis : Das System lautet in Matrixform x'(t) = A x(t) mit x(t) = (x_1(t),x_2(t))^T (T für transponiert). Hier ist A = matrix([[1,-2],[5,-5]]). Allgemein gilt : ist l = r + is ein komplexer Eigenwert von A und w = u + iv ein zugehöriger Eigenvektor , also Aw = l w, so ist x(t) = y(t) + i z(t) = e(lt) w eine Lösung des Systems (Rechne nach !). Wegen der Linearität ist dann auch die komplex-konjugierte x*(t) = e^(l* t) w* eine Lösung , und damit auch Real-und Imaginärteil y(t) und z(t) von x(t). Rechne nach, dass y(t) = (e^rt){u cos(st) - v sin(st)} z(t) = (e^rt){u sin(st) + v cos(st)} Man hat also nur noch die Eigenwerte und Eigenvektoren von A zu ermitteln. Rechne nach, dass l_1 = -2 + i , w_1 = (2 , 3-i)^T l_2 = -2 - i , w_2 = (-2 , 3+i)^T. mfg Orion
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