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Beitrag |
    
Lisa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 14:05: | 
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Verstehe die Aufgabe nicht:
V sei ein endlichdimensionaler VR über dem algebraisch abgeschlossenen Körper K. Man zeige, dass der End. f von V genau dann nilpotent ( f^r= 0) ist, wenn auer 0 keine weiteren Eigenwerte besitzt.
Lisa |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 436
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 00:08: |
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Du mußt zwei Richtungen beweisen.
1) Wenn f nilpotent ist, also wenn es ein rÎIN mit f r=0 gibt, dann besitzt f nur den Eigenwert 0
2) Wenn f nur den Eigenwert 0 besitzt, gibt es ein rÎIN mit f r=0
Zu 1)
Sei v Eigenvektor zum Eigenwert l, dann gilt
0=f r(v)=lrv <=> l=0 (da v¹0)
folglich ist 0 einziger Eigenwert
Zu 2)
Wenn 0 einziger Eigenwert von f ist, gibt es eine Basis {bi|i=1..n} mit f(bi)=bi+1 für i=1..k und f(bi)=0 für i=(k+1)...n (Stichwort : Jordan-Normalform). Dann ist aber fk(bi)=0, also f nilpotent
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