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Laura
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 13:51: | 
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Hallo!
Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Man bestimme das Minimalpolynom p_f zu einem Endomorphismus f des endlichdimensionalen K-Vektorraums V in folgenden Fällen:
i.)V=0, ii.) f=id_v, iii.) f=0 und iv.) es ex. lin. Unterräume V_1, V_2 von V mit V=direkte Summe von V_1 und V_2, und es gilt f(v_1+v_2)=v_1 für v_i aus V_i, i=1,2
Ich dachte zwar, dass ich das mit dem Minimalpolynom verstanden habe, weiß aber nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll!
Bin für jeden Hinweis dankbar.
LG, Laura |
Timo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 18:56: |
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hm weiß keiner was?
Hab das gleiche Problem...:-( |
Timo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 07:15: |
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Hallo Mathe-Cracks,
schätze mal,dass die Aufgabe ziemlich einfach ist...nur ich hab das mit dem Minimalpolynom wohl noch nich so ganz kapiert.
Fänd ich echt lieb, wenn sich jmd melden würde...
Danke |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 17:41: |
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Hallo ihr zwei,
ein bischen ist mir eingefallen.
Wenn V der Nullvektorraum ist kann f nur die Nullabbildung sein. Für diesen Fall solltet ihr mal in Eure VL gucken, ob Minimalpolynom überhaupt definiert ist. Vielleicht steht in der Definition als Voraussetzung, dass V nicht der Nullvektorraum sein soll.
II) Wenn f die Identität ist und V die Dimension n hat, hat ist die Darstellungsmatrix vom f bzgl. irgendeiner Basis immer die Einheitsmatrix und damit ist das charakteristische Polynom immer (x-1) hoch n und das Minimalpolynom x-1.
III) Darstellungsmatrix ist die Nullabbildung und das Minimalpolynom x.
IV) Erst müsst ihr nachrechnen, dass f auf V1 die Identität ist und auf V2 die Nullabbildung. Mit dem Basisergänzungssatz bekommt ihr eine Basis von V, wobei der eine Teil der Basis Basis von V1 ist und der andere Teil Basis von V2. Als Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis bekommt man dann eine Diagonalmatrix mit einsen und nullen. Soviele einsen wie die Dimension von V1 und soviele nullen wie die Dimension von V2. Charakteristisches Polynom ist dann (x-1) hoch (dimension von V1) mal x hoch (dimension von v) und Minimalpolynom ist dann (x-1)x.
Gruß clara |
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