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Beitrag |
    
itreb
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 23:08: | 
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hallo !
kann mir jemand sagen, ob man die zahl 1 als summe von endlich vielen summanden der form 1/(2k+1) ausdrücken kann, wobei k e |N und jedes k nur einmal verwendet werden darf?
also zb: 1/3 + 1/5 + 1/21 + ... + 1/97 = 1
???
viele grüße
itreb |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 11:58: |
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1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231 = 1
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Donald
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 13:35: |
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1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/33 + 1/75 + 1/819 + 1/112613 + 1/25363262925 = 1 |
SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 477
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 18:20: |
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Hi
Super! Aber wie kommt ihr darauf?
viele Grüße
SpockGeiger |
Donald
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 19:48: |
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nun ... durch "Drecksarbeit" (Ausprobieren).
es scheint beliebig viele Möglichkeiten zu geben:
1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/13 + 1/17 + 1/35 + 1/45 + 1/51 + 1/221 + 1/495 + 1/191443 + 1/20942906985 = 1
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Xell (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 22:52: |
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Hi Leute!
Wir befinden uns hier im Bereich der "ägyptischen Brüche",
also Ausdrücken der Form 1/n = 1/a + 1/b + 1/c +...
Es ist für jeden Stammbruch möglich, ihn in einen unendlichen
ä.Bruch zu entwickeln. Das ganze beruht auf folgendem
Zusammenhang:
1/n = 1/(n+1) + 1/(n*(n+1))
Daraus:
1 = 1/2 + 1/2 = 1/3 + 1/6 + 1/3 + 1/6
= 1/3 + 1/7 + 1/42 + 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42
usf.
Wie an der Identität ersichtlich wird, ist dein Problem
auf diese Weise nicht direkt lösbar, da nur ungerade
Nenner zugelassen sind, ein äg.Bruch aber stets zumindest einen
geraden Nenner aufweist. Zumindest ist damit dein Problem
aber für beliebige Nenner für sämtliche Stammbrüche
lösbar.
Gruß,
X. |
Donald
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 12:02: |
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Hi X., wie du schon selbst sagst, ist ... Problem auf diese Weise nicht direkt lösbar.
Kannst du mir mal auf die Sprünge verhelfen, wie ich deine abschließende Behauptung verstehen soll: "... Problem
aber für beliebige Nenner für sämtliche Stammbrüche
lösbar ..."
?
Grüße, Donald |
Xell (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 16:35: |
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Tag, Donald!
Gemeint war, dass man beliebige Stammbrüche stets in
ihre äyptischen Pendants verwandeln kann, wenn auch
gerade Nenner erlaubt sind.
greetz,
X. |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 19:26: |
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1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231 =
(1/3+1/5+1/7+1/9+1/11) + 1/5*(1/3+1/7+1/9) + 1/(3*7*11)
|
Donald
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 18:20: |
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Hallo ihr,
es macht bei mir nicht *klick*
Xell, deine beiden Beiträge verstehe ich nicht. Ist es so gemeint, dass die Formel zunächst immer (mind.) einen geradzahligen Nenner hineinbringt, den man am Ende dann wieder "zurückverwandeln" muss, so wie sich bei der Fortsetzung deines Verfahrens ergäbe:
1 = 1/2 + 1/2
1 = 1/3 + 1/6 + 1/3 + 1/6
1 = 1/3 + 1/7 + 1/42 + 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42
Die roten Brüche sind bereits von der gewünschten Form [1/(2k+1) wobei k e |N und es jedes k nur einmal gibt], die grünen können zu einem Bruch mit ungeradzahligem Nenner zusammengefasst werden:
1 = 1/3 + 1/7 + 1/21 + 1/4 + 1/7 + 1/12
aber wie nun weiter, ohne dass man schnell riesengroße Nenner erhält?
@egal: soll die letzte Umformung etwas mit der Formel von Xell zu tun haben? Ich komme nicht dahinter, was die bedeuten soll...
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egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 19:30: |
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Nein, hat nichts mit Xells Formel zu tun.
Das war nur mein Ansatz, um mit möglichst wenigen Brüchen mit möglichst kleinen Nennern auszukommen (Und in dieser Hinsicht ist die so erhaltene Stammbruchreihe wahrscheinlich minimal). So konnte ich durch Wiederverwendung bereits verwendeter Nenner die Suche auf wenige Kombinationen beschränken (ohne Computersuche).
Das ist aber kein deterministisches Verfahren mit Erfolgsgarantie, nur eine (offenbar zielführende) Greedy-Heuristik.
Viel schwieriger ist allerdings die Suche nach einer Stammbruchzerlegung von 1 mit ausschließlich Primzahlnennern!
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Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 22:02: |
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Fragt sich dann, ob eine solche St.bruchzerlegung überhaupt
existiert, bei der nur Primzahlen in den Nennern stehen... |
itreB
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 00:15: |
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Hallo Forum!
Vielen Dank für die vielen Beiträge! Oben beginnt Ihr ja schon zu diskutieren, ob es auch Stammbruchzerlegungen von 1 mit ausschließlich Primzahlnennern gibt... würde mich auch mal interessieren...
Aber viel mehr interessiert mich noch eine andere Frage:
Oben wurde schon gezeigt, dass es eine Stammbruchzerlegung
1 = 1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_n
[a_i = 2k+1 [k e |N und kommt immer nur 1 mal in jeder Zerlegung vor](i soll die Stammbrüche einfach durchnummerieren)]
gibt. Und jetzt kommts: Gibt es auch eine Stammbruchzerlegung die AUSSERDEM noch folgede Gleichung erfüllt? :
a_n = (1/2) * ( 1 + a_1 + a_2 + ... + a_n )
(a_n ist einfach der größte Nenner der
Stammbruchzerlegung)
Also, habt Ihr eine Idee?
Viele Grüße,
itreB |
Jodokus
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 02:20: |
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Die folgende Zerlegung erfüllt die zusätzliche Forderung zwar gar nicht, aber von den damit bisher hier aufgeführten Zerlegungen kommt sie ihr schonmal am nächsten:
1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/21 + 1/231 + 1/315 = 1
und
½*(1+3+5+7+9+11+15+21+231+315) = 309
arrggh ... 6 zuwenig !
Übrigens: Die Bedingung
a_n = (1/2) * ( 1 + a_1 + a_2 + ... + a_(n-1) + a_n )
kann umgeformt werden zu
a_n = 1 + a_1 + a_2 + ... + a_(n-1)
andererseits sollte gelten:
1 = 1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_n-1 + 1/a_n | *a_n
a_n = a_n/a_1 + a_n/a_2 + ... + a_n/a_(n-1) + a_n/a_n
Wenn ich nicht schon sehr müde bin, wäre die zusätzliche Bedingung wäre also auf jeden Fall dann erfüllt, wenn a_n eine perfekte Zahl wäre. Schwierig dabei ist allerdings, dass bisher keine ungerade perfekte Zahl bekannt ist... |
Einre
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Dezember, 2005 - 08:07: |
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itreB fragte am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 01:15:
quote:Gibt es auch eine Stammbruchzerlegung die AUSSERDEM noch folgede Gleichung erfüllt? :
a_n = (1/2) * ( 1 + a_1 + a_2 + ... + a_n )
(a_n ist einfach der größte Nenner der
Stammbruchzerlegung)
Ja, die gibt es, "die kleinste ungerade abundante Zahl ist 945.", so auf <http://de.wikipedia.org/wiki/Abundante_Zahl>.
Wegen
945 * (1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/27 + 1/35 + 1/45 + 1/63 + 1/105 + 1/135 + 1/189 + 1/315 + 1/945)
= 945 + 30, also 30 mehr als 945, ergibt sich durch Weglassen von 30 = 27+3 = 21+9, also
entweder von 945/35 = 27 und 945/315 = 3
oder von 945/45 = 21 und 945/105 = 9:
1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/27 + 1/45 + 1/63 + 1/105 + 1/135 + 1/189 + 1/945 = 1
1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/27 + 1/35 + 1/63 + 1/135 + 1/189 + 1/315 + 1/945 = 1 |
