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Primzahl als Summe zweier Quadrate

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Kay Schönberger (kay_s)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kay_s

Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 18:31:   Beitrag drucken

Hallo,

In einem Buch las ich ohne weitere Erläuterungen folgenden Satz:

Läßt eine Primzahl p bei Division durch 4 den Rest 1, so läßt sie sich in eindeutiger Form als Summe zweier Quadratzahlen schreiben.

Mich würde an dieser Stelle interessieren, wie man darauf kommt (gilt die Umkehrung auch?) und welche Verwendung dieser Satz besitzt.

Kay S.
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Niels (niels2)
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Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 15:54:   Beitrag drucken

Hi kay,

was du dort zitierst ist der berühmte "zwei Quadrate Satz von Fermat"

Der Name Pierre de Fermat sollte dir im Zusammenhang mit der Zahlentheorie bekannt sein(fermatsche Zahlen, großer Satz von Fermat etc)

Mir sind dafür bisher 2 Beweise bekannt.
-Beweis von Axel Thue
-Beweis von Roger Heath Brown

Sie sind zum Teil echt raffitückti und überrachend.

Wenn dich beide Beweise interessieren werde ich sie im Board hier zugänglich machen.

Gruß N.


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SpockGeiger (spockgeiger)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger

Nummer des Beitrags: 478
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 18:24:   Beitrag drucken

Hi Niels

Wenn es nicht zu viele Umstände macht, würde es mich sehr interessieren. Was sagt ihr zu der Frage, ob die Umkehrung gilt und was wäre denn überhaupt eine sinnvolle Umkehrung?

viele Grüße
SpockGeiger
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epsilon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 20:07:   Beitrag drucken

Hi

Die Umkehrung gilt (und zwar in folgender Form):

Voraussetzung: n = 4k+1 und für n = a^2+b^2 gibt es genau ein Zahlenpaar (a;b)
Folgerung: n ist Primzahl

Falls es kein Zahlenpaare (a;b) gibt mit n = a^2+b^2, dann ist n nicht prim und hat mindestens zwei Teiler vom Typ (4k+3).

Falls es mehrere Zahlenpaare (a;b) gibt mit n = a^2+b^2, dann kann man (gegebenenfalls sukzessive) alle Teiler von n explizit berechnen und alle haben die Form (4k+1):
Beispiel: 221 = 196 + 25 = 121 + 100
=> 196 - 100 = 121 - 25
=> (14 - 10)*(14 + 10) = (11 - 5)*(11 + 5)
=> 4 * 24 = 6 * 16
=> 24 / 16 = 6 / 4
gekürzte Form 3 / 2
Dann ist 3^2 + 2^2 = 13 ein Teiler von n
3/2 erweitert mit 8 gibt 24/16
3/2 erweitert mit 2 gibt 6/4
Dann ist 8^2 + 2^2 = 68 = 4 * 17 und 17 ist der andere Teiler von n.

Dieses Verfahren funktioniert immer (relativ leicht beweisbar, nur der Faktor 4 kann auch bei beiden potentiellen Teilern als Faktor 2 auftreten)


Eine Verallgemeinerung dieser Aufgabenstellung liefern die sogenannten "numeri idonei"

die Zahl d ist vorgegeben aus {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...; 22; 37; 190; ... und einige weitere, aber z.B. nicht 11!}

Wenn es für ein n spezieller Bauart (abhängig von d, wie bei d=1 vom Typ 4k+1) nur genau eine Zerlegung der Form n = a^2 + d*b^2 gibt, dann ist n prim; gibt es mehrere kann n daraus faktorisiert werden (ähnlich wie oben, nur dass zusätzlich zum Faktor 4 noch der Faktor d auftaucht), gibt es keine, ist n zwar nicht prim, aber man hat auch keine Hinweise auf die Faktorisierung.

Gruß epsilon
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Niels (niels2)
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Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 21:34:   Beitrag drucken

Hi SpockGeiger,

es folgen meinerseits auf deine Anfrage hin handschriftliche Erläuterungen
bezüglich dieses Themas.
Diese Erläuterungen sind alle dem "BUCH der Beweise" entnommen.
fermat1

weitere Erläuterungen werden zur gegebener Zeit selbstverständlich folgen.
Für heute Abend soll es aber das erstmal alles sein.

Gruß N.
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SpockGeiger (spockgeiger)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger

Nummer des Beitrags: 484
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 22:20:   Beitrag drucken

Hi Niels

Vielen Dank schonmal.
Ich möchte Dich auf keinen Fall stressen, jedoch mein Interesse bekunden. Wann geht es weiter?:-)

viele Grüße
SpockGeiger
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Niels (niels2)
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Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 15:25:   Beitrag drucken

Hi SpockGeiger,

es geht natürlich sofort weiter:

Hier ist der Rest der zum vollständigen Beweis von Lemma 1 nötig ist...

fermat2

Dieses Lemma wird noch entscheidend beim Bewei werden!

Ich habe es leider nicht mehr letzt Woche geschafft den 2. Teil zu publizieren. Und üüber das Lange Pfingstwochenende habe ich Urlaub gemacht.
Nun geht es in großen Schritten aber in Richtung Beweis weiter.

Gruß N.
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Niels (niels2)
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Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 16:43:   Beitrag drucken

Es folgt nun im 3. Teil ein paar Erläuterungen zum Thema "Primkörper"...

fermat3

Gruß N.
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Secretaris
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 01:18:   Beitrag drucken

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
(Teil I)






Voraussetzungen:


Lemma1:
Für jede Primzahl p der Form p = 4m+1 hat die Gleichung
º -1(mod p)
zwei Lösungen s Î {1;2;...;p-1},

für p=2 gibt es eine Lösung,
während es für Primzahlen der Form p=4m+3 keine Lösungen gibt.


Beweis (Teil 1):
Für p=2 ist s=1 als einzige Lösung.
Für ungerade p
wird eine Äquivalenzrelation auf die Menge {1;2;...;p-1} konstruiert, die dadurch erzeugt wird, dass man jedes Element mit seinem additiven und multiplikativen Inversen in Zp in Relation setzt.
Dabei wird das additive (?) Element mit -x
und das multiplikativ inverse Element mit x bezeichnet.

Damit erhalten die "allgemeinen" Äquivalenzklassen 4 Elemente: {x; -x; x; -x}.
Einfach aus dem Grunde, dass eine solche vierelementige Menge die Inversen für alle ihre Elemente enthält. Es gibt jedoch kleinere Äquivalenzklassen die auftreten, wenn einige dieser 4 Elemente nicht voneinander verschieden sind:


(Teil II)


Wenn einige dieser 4 Elemente nicht voneinander verschieden sind, können 3 Fälle auftreten:

• x º -x ist für ungerade p unmöglich
• x º x ist äquivalent zu x² º 1

Dies hat zwei Lösungen x=1 und x=p-1
und entspricht der Äquivalenzklasse {1;p-1} der Größe 2

• x º -x ist äquivalent zu x² º -1
Diese Gleichung hat entweder keine oder zwei verschiedene Lösungen x0, p-x0.
In diesem Fall ist die Äquivalenzklasse {x0; p-x0}

Die Menge {1;2;...;p-1} hat p-1 Elemente.
Wir haben diese Menge in Quadrupel (Äquivalenzklassen der Größe 4) aufgeteilt, plus ein oder zwei Paare (Äquivalenzklasse der Größe 2)

Für p-1 = 4m+2 folgt daraus, dass es nur 1 Paar {1;p-1} gibt,
der Rest besteht aus Quadrupeln und damit hat s²º-1(mod p) keine Lösung!

Für p-1 = 4m muss es aber noch ein weiteres Paar geben.
Dies enthält die beiden Lösungen für s²º-1(mod p), nach denen gefragt war!

Damit ist Lemma 1 bewiesen!
q.e.d.




Dieses Lemma wird noch entscheidend beim Beweis werden!












Nun geht es in großen Schritten aber in Richtung Beweis weiter.



Der Zwei-Quadrate Satz von Fermat
(Teil III)



Kurzinformationen: "Primkörper"

Für jede Primzahl p bildet die Menge Zp = {0;1;...;p-1} mit Addition und Multiplikation "modulo p" einen endlichen Körper.
Diese Körper haben viele interessante Aspekte - für unsere Überlegungen sind aber nur folgende 3 Eigenschaften solcher Körper von Interesse:

• Für x Î Zp ; x¹0 ist das Inverse bezüglich der Addition
(für das wir üblicherweise "-x" schreiben)
durch p-x Î {1;2;...;p-x} gegeben.
Ist p>2, so sind x und -x voneinander verschiedene Zahlen bzw. Elemente von Zp.

• Für x Î Zp\{0} existiert ein eindeutiges inverses Element bezüglich der Multiplikation. (Dieses multiplikative inverse Element wird mit x abgekürzt)
Es gilt also x·x º 1(mod p)

Aus der Definition der Primzahlen folgt nämlich, dass die Abbildung:
Zp ® Zp   ;   z ® xz   für x¹0     injektiv ist.
Auf der endlichen Menge Zp\{0} muss sie aber auch surjektiv sein.
Deswegen muss es ein eindeutiges x geben; (?) das gilt: xx º 1(mod p)

• Die Quadrate 0²; 1²; 2²; ... n² definieren
verschiedene Elemente von Zp für n=[p/2].
Dies folgt daraus, dass x² º y² = x²-y² º 0 = (x-y)·(x+y) º 0 impliziert, dass entweder xºy oder xº-y gilt.

Die 1+[p/2] Elemente 0², 1², 2², ..., n² nennt man die Quadrate in Zp.

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Secretaris
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 01:20:   Beitrag drucken

Hoffe dass alles so ist wie es der Meister gemeint hat und möchte mich für die Bezeichnung x für das multiplikativ inverse Element entschuldigen.
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Niels (niels2)
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Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 09:08:   Beitrag drucken

Hi Secretaris,

wow, schönen Dank, dass du meine handschriftlichen Ausführungen in schöne lesbare Schrift umgewandelt hast.

Beim durchlesen ist mir ein Sprachlicher Fehler meinerseits entdeckt.

Es muss heißen:
[...]
Beweis (Teil 1):
Für p=2 ist s=1 die einzige Lösung.
[...]

Was bedeuten die Fragezeichen in den Texten?

Es folgen noch weitere Teile...

Gruß N.




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Niels (niels2)
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Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 11:32:   Beitrag drucken

Es folgt der 4. Teil:

fermat4

Damit ist die vorarbeit abgeschlossen!

Es folgt im nächsten Beitrag der eigentliche Beweis des Zwei-Quadrate Satzes v. Fermat.
Der von Axel Thue ende des 19. Anfang des 20. Jahrhundertes geführt wurde.

Gruß N.
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Secretaris
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 00:03:   Beitrag drucken

Der Zwei-Quadrate Satz v. Fermat
(Teil IV)



Weitere Bemerkungen:

Ganz nebenbei wird an dieser Stelle bemerkt, dass die Gleichung

x² + y² º -1(mod p)

für alle Primzahlen eine Lösung besitzt. Es gibt nämlich [p/2] + 1 verschiedene Quadrate x² in Zp, und es gibt [p/2] + 1 verschiedene Zahlen der Form -(1+y²). Diese zwei Mengen sind aber zu groß um disjunkt zu sein, weil Zp insgesamt nur p Elemente hat, und deswegen muss es x und y geben, mit

º -(1+y²)(mod p).



Lemma 2:


Keine Zahl n = 4m+3 ist eine Summe von zwei Quadraten.
Beweis:
Das Quadrat einer geraden Zahl ist
(2k)² = 4k² º 0(mod 4) während das Quadrat einer ungeraden Zahl
(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4*(k²+k)+1 º 1(mod 4) ergibt.
Damit ist jede Summe von zwei Quadraten zu 0, 1 oder 2 (mod 4) kongruent.


Dies reicht uns als Beleg dafür, dass Primzahlen der Form p = 4m+3 „schlecht“ sind.
Also kümmern wir uns jetzt erstmal um die „guten“ Primzahlen von der Form p = 4m + 1
...
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Secretaris
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 00:09:   Beitrag drucken

erstes Fragezeichen:
... additive (inverse?) Element mit -x ...

zweites Fragezeichen:
... muss es ein eindeutiges x geben; für das gilt ...
oder:
... muss es ein eindeutiges x geben; so dass gilt ...


bin Laie auf dem Gebiet und weiß daher höchstens bei trivialen Rechtschreibfragen eine Antwort


Secretaris
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Niels (niels2)
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Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 15:33:   Beitrag drucken

Hi Secretaris,

zum ersten Fragezeichen:

Ich wollte damit nur deutlich machen das Inverse Element bezüglich der Addition gemeint ist-Es gibt ja noch ein Inverses Element bezüglich der Multiplikation das normalerweise nicht gleich dem additiven inversen Element ist. Um die verdeutlichung dieses Unterschieds ging es mir bei der Formulierung.

Zweites Fragezeichen:
Im Buch aus dem ich zitiere heißt es wörtlich:

"und deswegen gibt es für jedes x ein eindeutiges x[das x hat ein strich drauf} ungleich Null, mit x*x[strich auf dem x;über einem Gleichheitszeichen noch ein Querstrich]1 (mod p)"

Ich sehe da aber mathematisch keinen Unterschied.

Dann kann ich ja jetzt den eigentlichen Beweis von Thue veröffentlichen...

Gruß N.

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clara
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Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 16:53:   Beitrag drucken

Hi,
ich habe mir zwar nicht alles durchgelesen, aber ob man über ein x ein Querstrich macht oder nicht ist schon ein mathematischer Unterschied. Mit Querstrich ist es die Restklasse dieses Elementes. Streng genommen gibt es z.B. 5 nicht in Z/2Z, sondern 5 mit Querstrich und das ist in diesem Fall dasselbe wie 1 mit Querstrich.
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Niels (niels2)
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Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 18:08:   Beitrag drucken

Hi Clara,

es ging nicht um das x, sondern um die Formulierung:

muss es ein eindeutiges x geben; für das gilt ...
oder:
... muss es ein eindeutiges x geben; so dass gilt ...

ich habe mich für die Formulierung "für" entschieden und meine ursprüngliche Formulierung(oben nachzulesen) zusätzlich um ein
"x ungleich Null" erweitert.

Das über den x ein Querstrich gehört stand nicht zur Diskussion und wurde auch von mir nicht in Frage gestellt.

Ich hoffe alle weiteren Missvertändnisse damit ausgeräumt zu haben.

Gruß N.

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