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Beitrag |
    
Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 17:31: | 
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Hallo,
Eine neue Aufgabe über die gleichmässige Konvergenz einer
Funktionenfolge bereitet mir Schwierigkeiten
Die Aufgabe lautet:
Man untersuche die Funktionenfolge
fn(x) = n x e ^ (-n x^2) für das Intervall 0<= x <=1
auf gleichmässige Konvergenz.
Für jede Hilfe bin ich dankbar
Erich L.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 19:00: |
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Hi Erich,
Deine Aufgabe lässt sich ohne Epsilontik lösen.
Auf elegante Art können wir nachweisen, dass die Folge
nicht gleichmässig konvergiert.
Zuerst berechnen wir f(x) = lim fn(x) für x gegen unendlich
und erhalten die stetige Grenzfunktion f(x) = 0.
Das bestimmte Integal J von f(x) bezüglich des
angegebenen Intervalls ist 0, also
J = 0
Andrerseits gilt für das bestimmte Integral Fn(x) für dieselben
Grenzen mit fn(x) als Integrand
Fn = int [fn(x)*dx] = int [n * x * e ^ ( -n x^2 ) * dx ] =
= ½ * {1- e^(-n) }
Der Grenzwert G von Fn für n gegen unendlich ist ½
Es entstehen somit für G und J zwei verschiedene Werte, eben
G = ½ und J = 0.
Das Integral des Grenzwertes der gegebenen Folge kann somit
nicht durch gliedweise Integration der Folgeglieder gewonnen
werden, wie es für gleichmässig konvergente Folgen bekanntlich zutrifft.
Somit ist die gegebenen Folge nicht gleichmässig konvergent.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath.
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