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Organisation die Quadrierer (Darkangel)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 18:34: | 
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Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz :
a) 1 + 2a +a2 + 2a3 + a4 + 2a5 + ...... für a = -1/2 und a = 3/2,
b) Summe von 1/(k(k+3)) (k>=1) , bestimmen Sie ggf. die Reihensumme.
a) Diese Reihe kann man auch wie folgt mit der Formel aufschreiben:
SUMME von k=0 bis Unendlich = (4/(3+((-1)^k))) * a^k
Dies ist eine Potenzreihe:
Nun habe ich mit Hilfe des Limes den Grenzwert bestimmt:
lim k -> Unendlich = (4/3+(-1)^k) * a^k für a = (-1/2)
lim k -> Unendlich = (4/3+(-1)^k) * (-1/2)^k
(-1)^k bestimmt in dem Fall das Vorzeichen, bei Geraden Zahlen
wird der Wert positiv, bei ungeraden Zahlen, negativ.
(-1/2)^k geht bei steigenden k-Werten gegen 0
das man also folgenden Term erhält, für k -> Unendlich
lim k -> Unendlich = +|- (4/3) * 0 = 0 und somit der Grenzwert g = 0
Sie konvergiert gegen 0.
Ihr Konvergenzbereich (kb) ist 0<=kb<= 1/1/3
In diesem Bereich konvergiert sie absolut.
Quelle: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Band1
7. Auflage
von Lotha Papula
Jetzt für a = 3/2
lim k -> Unendlich = (4/3+(-1)^k) * (3/2)^k
(-1)^k bestimmt in diesem Fall auch das Vorzeichen, bei Geraden Zahlen
wird der Wert positiv, bei ungeraden Zahlen, negativ.
(3/2)^k geht bei steigenden k-Werten gegen Unendlich
so das man in diesem Fall folgende Terme erhält, für k -> Unendlich
lim k -> Unendlich = +|- (4/3) * Unendlich
= - Unendlich, bei ungeraden Zahlen
= + Unendlich, bei geraden Zahlen
somit ist diese Folge bestimmt divergent.
b) Summe von k = 1 bis Unendlich = 1/(k*(k+3))
lim k -> Unendlich = 1/(k*(k+3)
= 1/(k²+3k) /* (1/k²)
= (1/k²) / (1 + (3/k))
= (1/Unendlich) / (1+(3/Unendlich))
= ( 0 ) / (1+( 0 ))
= 0
somit ist diese Folge konvergent, gegen den Grenzwert g = 0. |
Organisation die Quadrierer (Darkangel)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 18:38: |
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Hi Leute.
Ich weiß nicht ob ich mit meinen Überlegungen
richtig liege, weil wenn ich bei der Potenzmenge
das Qutientenkriterium anwende, dann komme ich nicht weiter.
Da habe ich es eben so gemacht, mit dem Limes.
Ich hoffe meine Überlegungen sind nicht falsch.
Bye Dark Angel |
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