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Oliver Preisner (thuriferar783)
Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 13:28: | 
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Hi!
Könnte mir jemand den genauen Rechenweg angeben, wie ich die folgenden Differentialgleichungen löse?
a) y' + y*sin[x] = (sin[x])^3
b) y'' + 3*y' + 3*y = sin[1/2*sqrt[3]*x]
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Es grüßt euch, Oliver. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 209
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 09:47: |
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Oliver :
1. Inhomogene lineare Dgl.1.Ordnung.
Allgemeine Lsg. der homogenen Gl.:
y_h(x) = C*exp(cos(x)).
Ansatz für partikuläre Lösung der inhomogenen Gl.:
y = w(x)*exp(cos(x))..
Einsetzen ergibt für w(x) :
w'(x) = exp(- cos(x)) * sin^3(x).
Die Integration lässt sich mittels der Substitution cos(x) = u leicht durchführen.
.
2. Inhomogene lineare Dgl. 2. Ordnung.
Charakteristische Gleichung :
r^2+3r+3 = 0 ==> r = (1/2)(-3 ± i*sqrt(3)).
Daher allgemeine Lsg. der homogenen Gl.:
y_h(x) = exp( - 3x/2 )*{C_1*cos(0.5*sqrt(3)x)
+ C_2*sin(0.5*sqrt(3)x)}.
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gl.
verschafft man sich üblicherweise (d.h. wenn
einem nichts besseres einfällt !) mittels "Variation der Konstanten", d.h. mit dem Ansatz
y = exp (-3x/2 )*{u(x)*cos(0.5*sqrt(3)x)
+ v(x)*sin(0.5*sqrt(3)x)}.
Das kann ggf. zu aufwendigen Rechnereien
führen.
Have fun
mfg
Orion
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Stefan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 11:07: |
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Hi!
Hab ein Frage.
Ist die Lösuung der beiden Aufgaben von Orion komplett gelöst worden????
Oder muss die Lösungsansätze noch erganzen???
Wenn ja. Wie???
Für eine komplette Lösung wäre ich dankbar.
Viele Grüße
Stefan |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 211
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 06:57: |
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Hallo :
Nachtrag zu 2.:
Wegen der speziellen Form der rechten Seite
kommt man mit folgender Methode schneller
zum Ziel.
Betzrachte die komplexe Dgl.
z'' + 3z' + 3z = e(x)
mit e(x) := exp(i*sqrt(3) x /2)).
Der Imaginärteil einer Lösung ist dann
offenbar eine Lösung der gegebenen Dgl.
Ansatz : z = w*e(x).
Nach Einsetzen in die Dgl. und Wegkürzen
des Faktors e(x) bleibt die einfache
Dgl.
w'' + (3+sqrt(3)*i)w' + (1/4)(9+6*sqrt(3)*i)w=1
für w. Diese hat offenbar eine Lösung w = const. welche leicht zu ermitteln ist.
mfg
Orion |
Oliver Preisner (thuriferar783)
Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 17:31: |
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Vielen Dank für die Hilfe, Orion!
Gruß, Oli. |
thuriferar783
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 18:01: |
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Orion, könntest du mir vielleicht noch mal sagen, wie ich bei 1) w'(x) integrieren soll? Mit Substitution klappt das net so richtig.
Ciao, Oli. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 221
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 21:12: |
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Oliver :
e^(-cos(x))sin^3(x)=e^(-cos(x))*(1-cos^2(x))sin(x)
Substitution cos(x) = u ==> sin(x)dx = -du
ergibt das Integral
int{e^(-u)*(u^2 - 1)du}
Das schafft man mit 2-maliger partieller Integration.
mfg
Orion |
Oliver Preisner (thuriferar783)
Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 00:01: |
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Ach ja, stimmt ja, diese plöden trigonometrischen Theoreme!
Vielen Dank! Oliver. |
Oliver Preisner (thuriferar783)
Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 14:21: |
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Orion, nochmal zur zweiten Aufgabe. Bist du dir sicher, dass man das mit der Euler'schen Formel lösen kann? Immerhin würde man bei deinem Lösungsweg andauernd das sin[y] mitschleppen - ist das nicht ein wenig gefährlich???
Eine Bitte: Könntest du mir nochmal den Weg der Variation der Konstanten vorrechnen? Ich habe da etwas zu intergrieren, wo ich einfach nicht weiterkomme:
integr{(sin[1/2 sqrt[3]]^2 * exp[-1,5x] dx}
Ich wäre dir zu 1000fachem Dank verpflichtet.
Ciao, Oli. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 223
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 17:27: |
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Oliver :
Variation der Konstanten allgemein :
y_1,y_2 seien zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung
L[y] := y'' + py' + qy = 0.
Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gl.
L[y] = f(x)
zu konstruieren, setzen wir
y = u*y_1 + u*y_2
und verfügen über die Funktionen u,v so,
dass die Gleichungen
u' y_1 + v' y_2 = 0 , u' y'_1 + v' y'_2 = f(x)
erfüllt sind. Dann rechnet man leicht nach, dass tatsächlich L[y] = f(x).
Die Lösung obigen Gl.-Systems nach u',v'
lautet
u' = - y_2*f/W , v' = y_1*f/W
wobei W := y_1*y'_2 - y_2*y'_1 die sogenannte
Wronski'sche Determinante ist. Damit ist die
Bestimmung von u,v durch einfache Integration möglich. Im obigen Fall ist
y_1(x) = e^(-3x/2) cos(0.5*sqrt(3)x)
y_2(x) = e^(-3x/2)* sin(0.5*sqrt(3)x)
und so sollten sich u',v' leicht berechnen lassen.Wie gesagt bleibt dann noch die
Auswertung der Integrale, und das kann
mühsam sein. Deswegen ist hier der Weg
über das Komplexe vorzuziehen. Ich sehe
nicht ganz, wieso dabei noch sin(y) auftritt.
Für die Auswertung von
int{e^(ax)*sin^2(bx)dx
empfehle ich die Formel
sin^2(t) = (1/2)*(1 - cos(2t)},
dann bist du das Quadrat los.
mfg
Orion
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Oliver Preisner (thuriferar783)
Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 18:08: |
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Orion, du meintest doch:
Betzrachte die komplexe Dgl.
z'' + 3z' + 3z = e(x)
mit e(x) := exp(i*sqrt(3) x /2)).
Der Imaginärteil einer Lösung ist dann
offenbar eine Lösung der gegebenen Dgl.
Mein Problem besteht darin, dass aber
exp(i*sqrt(3) x /2) = cos ... + i*sin... ist.
in der Aufgabenstellung ist aber nur der sin...!
Was nun?
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 224
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 22:12: |
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Oliver :
Die komplexe Dgl .
L[z] = e(x)
mit
e(x) := cos(ax) + i*sin(ax)
und z = w + i*y
ist (Trennung von Real-und Imaginärteil !) aequivalent zu dem Gleichungspaar
L[w] = cos(ax) , L[y] = sin(ax),
denn
L[z] = L[w+i*y] = L[w] + i*L[y].
Das ist so, weil w und y reelle Funktionen sind
und L ein linearer Operator ist.
mfg
Orion |
