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Beitrag |
    
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 01:04: | 
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Hallo Leute,
nachdem wir bei uns auf der Uni die Definition der e-Funktion ( woraus folgt, e^z ist komplex mit z komplex, da C Körper), und man die komplexen Zahlen ja als Zahlernerweiterung von R auffasst, damit z. B. die Gleichung x^2=-1 auch eine (nichtreelle) Lösung hat, habe ich mir nun folgende Gedanken gemacht, die eventuell Denkfehler und mathematisch unkorrekte Formulierungen enthalten könnten:
1. Grob gesagt könnte man doch sagen, i=sqrt(-1) (wobei sqrt=Wurzel). Dies ist jedoch mathematisch unkorrekt, denn ansonsten müsste doch gelten:
i^2=[sqrt(-1)]^2=-1 und i^2=[sqrt((-1)^2)=1, oder ?
2. Dennoch könnte man doch sagen, das i aus C entsteht, indem man aus einer negative reellen Zahl die Wurzel zieht, also ungehfähr:
i=(-1)^(1/2)
Das heisst, durch "reelle Zahl hoch reelle Zahl" verlässt man den Zahlenbereich der reellen Zahlen. (Man beachte: Durch diese Rechenoperation erhält man keinen Widerspruch zu den Körperaxiomen, denn diese sagen nichts über rein reellwertige Exponenten aus!)
Nun zu dem eigentlichen Teil meiner Frage:
Wie sieht es denn nun aus, wenn man eine komplexe Zahl potenziert ( wobei der Exponent auch komplex sein dürfen soll ) ? Kann man dadurch den Bereich der komplexen Zahlen verlassen ? Ist eine solche Definition überhaupt machbar ( wohldefiniert/-definierbar ) ? Gibt es irgendwo Literatur diesbezüglich oder ist dies ein unerforschtes Gebiet, zu dem sich noch keiner Gedanken gemacht hat ?
Wenn jemand etwas darüber weiss oder sich Gedanken dazu machen will, schreibt mir bitte in diesen Thread !
Danke im Voraus
Grüße
STEVENERKEL |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 307
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 11:42: |
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Moivre, Euler.
eine Komplexe Zahl z
kann auch als z = |z|*ei*phi
dargestellt werden, mit Tangens(phi) = Im(z)/Re(z)
womit das Potenzieren mit beliebigen komplexen Expontenten möglich wird. |
SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 475
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 21:41: |
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Hi STEVENERKEL
(-1)^(1/2) zu als i zu definieren, macht keinen Sinn, weil keine Rechenregeln gelten. Das liegt einfach daran, dass das Potenzieren mit ganzen Zahlen nicht mehr injektiv ist, sobald der Definitionsbereich mehr ist als die nichtnegative Achse.
Was aber geht, ist dass der Exponent komplex ist. Dabei definiert man einfach wie im reellen ab=elna*b.
viele Grüße
SpockGeiger |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 23:04: |
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Hmmm, wenn ich das richtig verstehe:
(-1)^(1/2) ist nicht definierbar. Den Widerspruch zu den Rechenregeln habe ich ja unter 1) gezeigt, nur war das ja mal so eine intuitive Idee...
Könnt ihr mal bitte meine Überlegungen kontrollieren ?
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Die Formeln von de Moivre sind mir bekannt ( bei uns wurde der cos(x) def. als Realteil(e^ix) und der sin(x)=Im(e^(ix)). Dann wäre also k^z mit k,z aus C folgendermaßen definiert:
k^z=(|k|*(cos(x)+i*sin(x))^z wobei x der Winkel zw. k und der reellen Achse im Bogenmaß ist. Nun gut, |k|^z ist komplexwertig, aber wieso ist (cos(x)+i*sin(x))^z nun nur wieder komplexwertig ? Das erkäre ich mir dann folgendermaßen:
Das wäre dann [e^(ix)]^z=e^(z*ix)
Da z=Re(z)+i*(Im(z)) =>
e^(Re(z) *z*ix -Im(z) *z*x)=[e^(i*(z*Re(z)*x) ] / [e^^(Im(z) *z*x)], also eine komplexe Zahl geteilt durch eine relle Zahl.
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Wäre das so korrekt ( bis auf eventuelle Rechenfehler, bitte korrigieren, wenn ich welche übersehen hab )?
Trotzdem noch eine Frage:
Gibt es eigentlich nur noch die komplexen Zahlen ? Oder existieren noch andere Zahlen... Wir wissen, dass R ein vollständig geordneter Körper ist, und jeder geordnete Körper zu diesem isomorph ist. C ist auch vollständig, aber nicht geordnet, hat aber die Eigenschaft, dass in C die Gleichung x^2=-1 lösbar ist. Gibt es vielleicht eine ZahlenMenge, die anderweitig einer Erweiterung dient ?
Weiss jemand etwas darüber und hat jemand Zeit und Lust, meine Überlegung zu kontrollieren ? Ist nicht so dringend, ist nur rein privates Interesse... Ihr könnt euch ruhig bis Ende der Woche ( oder länger ) Zeit lassen...
Grüße und Danke
StevenErkel |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 19:16: |
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Hallo, mir genügt ja ein einfaches ja oder nein oder:
An dieser Stelle mußt du aufpassen !
Hat denn nun immer noch keiner Lust ? Sind nur die Sachen zwischen - und -, das ist doch nicht soooo viel, oder ?
Auf Antwort wartend,
STEVENERKEL |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 344
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 20:28: |
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zwischen - und -
richtig,
außer, daß du beim Berechnen des Exponenten
z*i*x
zusätzlich noch das z dazugeschmuggelt hast
aber
 diese eingebnete Schreibweise verursacht immer wieder Fehler
von sonstigen "Erweiterungen" ist MIR nichts bekannt - aber der Phantasie der Mathematiker ist kein Grenze gesetzt - es läßt sich immer noch etwas Erfinden. ( Das in sich Logisch ist ). |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 21:25: |
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Hi Friedrich,
sorry, aber ich versteh nicht ganz, was du meinst:
[e^(ix)]^z=e^(z*ix)
hab ich analog zu
(a^b)^c=a^(b*c)
Wieso hab ich da was eingeschmuggelt ?
Oder was meinst du ?
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 345
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 22:03: |
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z*i*x = Re(z)*ix -Im(z)*x
und
nicht Re(z)*z*ix -Im(z)*z*x |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 22:35: |
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Hallo,
da hab ich wohl vor lauter Wald die Bäume nicht mehr gesehen, oder ist´s umgekehrt ?!
Danke, war mir gar nicht aufgefallen. Hab das z ja gerade ersetzen wollen !
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
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