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axl (axl)
Neues Mitglied
Benutzername: axl
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 14:35: | 
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Hi! Ich hab hier ein kleines Problem, bei dem ich nicht weiterkomme:
Zeige daß der Durschnitt kompakter Teilmengen eines metrischen Raumes wieder kompakt ist!
Ich weiß nicht so richtig wie ich hier anfangen soll!
Danke schon mal |
ende (ende)
Mitglied
Benutzername: ende
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 11:18: |
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Hi, axl!
Wenn ich mich jetzt nicht falsch erinnere, dann gelten doch folgende Aussagen:
(1) Kompakte Mengen eines metrischen Raumes sind abgeschlossen und beschraenkt.
(2) Der Schnitt von endlich vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.
(3) Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes ist kompakt.
(4) Eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes laesst sich durch Einschraenken der Metrik als kompakter metrischer Raum auffassen.
So.
Nun ist also der Schnitt zweier kompakter Mengen abgeschlossen, weil die beiden kompakten Mengen schon abgeschlossen sind. Wir fassen nun eine der beiden kompakten Mengen als kompakten metrischen Raum auf. Dann ist also der Schnitt abgeschlossene Teilmenge eines metrischen Raumes. Und damit ist der Schnitt kompakt.
Fertig.
Gruss, E. |
SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 476
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 18:15: |
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Hi axl
Kleine Korektur von ende:
(1) ist nur im endlichdimensionalen richtig, d.h. wenn der Raum nicht nur metrisch sondern sogar normiert ist und endlichdimensional. Es gibt zwar auch für allgemeine metrische Räume einen Dimensionsbegriff, ich kenne ihn aber nicht und auch keine Konsequenzen.
(2) ist richtig, aber doch gerade zu zeigen, lässt sich aber leicht mit (3) zeigen, denn der Schnitt ist abgeschlossen und enthalten in einer der Mengen, also kompakt.
viele Grüße
SpockGeiger |
ende (ende)
Mitglied
Benutzername: ende
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 19:49: |
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Huch, Spock?
Deine Korrektur ist ja schrecklich. *g*
Zunaechst zu (2). Wenn Du mein (2) nochmal liest, dann wirst Du mir sicher zustimmen, dass mein (2) weder zu zeigen ist, noch dass mein (2) aus meinem (3) folgt... Da wirst Du Dich wohl verlesen haben.
Und (1) ist allgemein in metrischen Raeumen richtig. Die Beschraenkheit ist ganz leicht zu zeigen, indem man eine kompakte Menge mit offenen Epsilon-Kugeln um jeden Punkt ueberdeckt. Eine endliche Teilueberdeckung ist dann beschraenkt. Und eine Teilmenge einer beschraenkten Menge ist beschraenkt.
Es ist aber auch in jedem beliebigen metrischen Raum eine kompakte Menge abgeschlossen.
Beweis hierzu:
Wir zeigen durch Widerspruch.
Annahme: Eine Menge K ist kompakt und nicht abgeschlossen.
Dann ist Kc (:= Komplement von K im metrischen Raum X) nicht offen.
Es gibt also ein x0 aus Kc so, dass fuer jedes e > 0 der Schnitt K n Ue(x0) (:= abgeschlossene Kugel um x0 mit Radius e) nichtleer ist.
Die Familie O := {Ue(x0)c | e > 0} ist eine offene Ueberdeckung von K.
Wir pruefen dies nach:
Die abgeschlossenen Kugeln um x0 sind abgeschlossen. Also sind ihre Komplemente offen.
Ausserdem gilt:
"Schnitt ueber alle abgeschlossenen Kugeln um x0" = {x0}, denn: Fuer x ¹ x0 setze d := 1/2d(x, x0) > 0. Dann ist x nicht aus Ud(x0). Also auch nicht aus dem Schnitt ueber alle Kugeln. x0 selbst ist trivialerweise in jeder Kugel enthalten.
Damit ergibt sich also:
{x0}c = "Komplement des Schnittes ueber alle abgeschlossenen Kugeln um x0" = "Vereinigung ueber alle Komplemente von abgeschlossenen Kugeln um x0".
Die Familie O ueberdeckt also {x0}c. Weil x0 aus Kc gewaehlt war, ueberdeckt O also insbesondere K. Damit ist O also eine offene Ueberdeckung von K.
Bis jetzt haben wir nur benutzt, dass K nicht abgeschlossen ist. Nun wenden wir an, dass K kompakt ist.
Dann gibt es naemlich eine endliche Teilueberdeckung aus O von K.
Das heisst, es gibt e1, ..., en > 0 so, dass K Teilmenge Ue1(x0)c u ... u Uen(x0)c.
Nun waehle e := Minimum{e1, ..., en}.
Dann folgt K Teilmenge Ue(x0)c. Wenn wir die Komplemente betrachten, bedeutet das:
Ue(x0) Teilmenge Kc.
Oben hatten wir aber gerade festgestellt, dass es keine Umgebung (insbesondere keine Kugel) um x0 gibt, die einen leeren Schnitt mit K hat.
Wir haben also einen Widerspruch. Damit ist unsere Annahme, dass es eine kompakte Menge K gibt, die nicht abgeschlossen ist, falsch.
Das war aber zu zeigen.
Gruss, E. |
SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 479
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 20:21: |
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Hi ende
Toller Vortrag. Bei (1) habe ich mich tatsächlich verlesen, entschuldige bitte. Da Du beschränkt aufgeführt hast, habe ich beim zu schnellen Lesen angenommen, dass Du beim Beweis dies benutzt, und einen der Standardfehler gemacht hast, nämlich anzunehmen, dass beschränkte abgeschlossene Mengen kompakt sind.
Sehr wohl ist aber die Aussage ein Spezialfall von (2)(???) (eigentlich auch andersrum [z.B. Induktion]), und dann wird (2) wohl nicht zur Verfügung stehen.
Ähmm, ich gebe ja zu, dass ich mich verlesen habe, aber hast Du meinen Beitrag gelesen? Dein Beweis benutzt (3), und ist im Grunde derselbe, wie meiner.
viele Grüße
SpockGeiger |
axl (axl)
Junior Mitglied
Benutzername: axl
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 20:39: |
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Hi! Ich danke euch für eure Bemühungen, aber ich habe jetzt schon selbst einen kurzen und einfachen Beweis hingekriegt!
Und zwar: Seien Ai die kompakten Teilmengen und A der Durchschnitt dieser. Sei (Ui)ieI eine offene Überdeckung von Ai. Da Ai kompakt ist ex also eine endliche Teilüberdeckung von Ai. Da A in allen Ai enthalten ist, habe ich zu A auch eine endliche Teilüberdeckung gefunden. |
ende (ende)
Mitglied
Benutzername: ende
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 20:54: |
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Haeh?! Spock, was redest Du denn bloss?
"Ähmm, ich gebe ja zu, dass ich mich verlesen habe, aber hast Du meinen Beitrag gelesen? Dein Beweis benutzt (3), und ist im Grunde derselbe, wie meiner."
Ich hoffe, dass Du mit "Dein Beweis" meinen ersten Beweis meinst. Und selbstverstaendlich benutze ich (3) in diesem Beweis. Dafuer habe ich (3) ja ueberhaupt nur aufgeschrieben...
Ich benutze in meinem Beweis sogar (1), (2), (3) und (4).
Retour: Hast Du eigentlich meinen Beitrag gelesen? Deiner ist naemlich derselbe wie meiner und nicht etwa andersrum...
Und wieso sollte (2) denn nicht zur Verfuegung stehen?! Habt Ihr denn nicht vor Einfuehrung des Kompaktheitsbegriffes abgeschlossene behandelt?
Klingt alles aufgeregter, als ich wirklich bin. 
Ausserdem ist mir gerade aufgefallen, dass axl gar nicht von zwei kompakten Teilmengen redet, die geschnitten werden sollen. Moeglicherweise meint er zwei, aber er koennte auch beliebig viele meinen. (2) gilt aber auch fuer unendlich viele abgeschlossene Mengen. Das muss ich an dieser Stelle noch nachreichen.
Fazit:
Spock, es freut mich, dass Du Beitraege (mehr oder weniger  ) aufmerksam liest, aber ich verstehe noch immer nicht, was Du nun an meinem Beweis korrigieren wolltest. Alles in allem bin ich ziemlich verwirrt...
Gruss, E. |
ende (ende)
Mitglied
Benutzername: ende
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 20:57: |
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Oh, Vorsicht Axl!
In Deinem Beweis findest Du eine endliche Teilueberdeckung aus einer offenen Ueberdeckung fuer alle Ai. Du musst aber eine endliche Teilueberdeckung aus einer beliebigen offenen Ueberdeckung von A finden.
So ist Dein Beweis formal nicht ganz korrekt. Aber nahe dran bist Du schon. *g* Auf dieser Faehrte kannst Du weitersuchen.
Gruss, E. |
SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 480
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 07:41: |
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Hi Ende
Entschuldige bitte. Aus den Tomaten von gestern werd ich heute nen leckeren Salat machen 
Du hast auch recht, dass mein Beweis derselbe ist, wie Deiner, auch wenn für mich die Aussage äquivalent zu meiner "Dein Beweis ist derselbe wie meiner" ist (Gleichheit ist ne Äquivalenzrelation)
viele Grüße
SpockGeiger |
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