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Momo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 16:33: | 
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Hallo
Ich bin am verzweifeln und habe das mit der gleichmäßigen Konvergenz immer noch nicht raus. Ich weiß zwar, wo der Unterschied zu punktweisen liegt, aber wie zeige ich sowas an konkreten Beispielen , wie:
a) Konvergiert die geometrische Reihe Summe[n=0,...,oo] x^n im Intervall [0,1[ gleichmäßig?
b) Konvergiert die Folge der Funktionen f_n(x) = (1+ x/n)^n (x aus R, n aus N) im Intervall [0,1] gleichmäßig?
c) Konvergiert die Folge der Funktionen g_n(x)= sqrt(x^4 + 1/n) gleichmäßig auf R?
d) Konvergiert auch die Folge (g´_n)_n>=1 mit g_n aus c) gleichmäßig auf R?
Bitte helft mir
Momo |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1078
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 12:58: |
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Hallo Momo, punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge f_n(x) gegen eine Funktion f(x) heißt doch:
Für jedes x und für jedes epsilon > 0 existiert ein n_0(x,epsilon), sodass |f_n(x) - f(x)| < epsilon für alle n >= n_0(x,epsilon).
Bei gleichmäßiger Konvergenz hängt das n_0 nicht von x ab, also:
Für jedes epsilon > 0 existiert ein n_0(epsilon), sodass |f_n(x) - f(x)| < epsilon für alle n >= n_0(epsilon) und alle x.
Das heißt, dass f_n(x) für alle x "gleichmäßig schnell" gegen f(x) konvergiert.
Bei a) ist f_n(x) = Sn i=0 x^i und f(x) = 1/(1 - x). Für x-Werte, die nahe an 0 liegen, werden die Summanden x^i sehr schnell sehr klein, und die Summe konvergiert daher schnell. Für x-Werte nahe an 1 muss man dagegen lange warten, bis x^i klein wird - daher langsame Konvergenz. Insgesamt also keine gleichmäßige Konvergenz.
Soviel zur Anschauung.
Um formal zu beweisen, dass keine glm. Konvergenz vorliegt, nehmen wir für den Moment an, dass sie es doch tut und führen das zu einem Widerspruch.
Da das rote für alle epsilon > 0 gelten soll, muss es ja insbesondere für epsilon = 1 gelten. Wähle n_0 so, dass
|Sn i=0 x^i - 1/(1 - x)| < 1
für alle n >= n_0 und alle x aus [0,1). Dann gilt insbesondere
|Sn_0 i=0 x^i - 1/(1 - x)| < 1
für alle x aus [0,1).
Es ist
|Sn_0 i=0 x^i - 1/(1 - x)|
= |(1 - x^(n_0+1))/(1 - x) - 1/(1 - x)|
= x^(n_0+1)/(1 - x)
Also für x aus [0,1)
|Sn_0 i=0 x^i - 1/(1 - x)| < 1
<=> x^(n_0+1)/(1 - x) < 1
<=> x^(n_0+1) < 1 - x
<=> (n_0+1) ln x < ln(1 - x)
<=> n_0 > ln(1 - x)/ln x - 1
Solch ein n_0 kann es aber nicht geben, da letzte Ungleichung für ALLE x aus [0,1) erfüllt sein soll und ln(1 - x)/ln x - 1 -> oo für x ->1. |
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