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Beitrag |
    
Joon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 16:08: | 
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Hi
Ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, das folgende Funktion stetig und beliebig oft differenzierbar ist :
f: R->R
f(x)= Summe[n=1,...,oo]( 1 / (x^2 + n^2)) , x aus R
kann mir jemand helfen?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 292
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 10:03: |
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weil es auch jeder Summand ist |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1060
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 13:58: |
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Tut mir Leid, Friedrich, dass ich dir abermals widersprechen muss. Die Begründung funktioniert nur bei endlichen Summen. |
Joon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 13:19: |
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Hat keiner einen brauchbaren Hinweis für mich?
Ich verzweifel noch an dieser Aufgabe!!
Joon
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1073
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 14:53: |
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Hallo Joon,
da |1/(x² + n²)| <= 1/n² für jedes x aus R und S 1/n² konvergent, ist die Reihe S 1/(x² + n²) nach dem Weierstraß'schen Majorantenkriterium gleichmäßig konvergent. Somit folgt aus der Stetigkeit der Summanden die Stetigkeit von f.
Weiß jetzt leider nicht genau, was für die Differenzierbarkeit notwendig ist. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1074
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 15:05: |
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Du musst noch zeigen, dass die Reihen der n-ten Ableitungen der Summanden ebenfalls gleichmäßig konvergieren. Dann sollte alles klar sein. Siehe z. B. hier. |
Joon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 16:27: |
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Danke Zaph für deine Antwort.
Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe , muß ich jetzt noch zeigen, dass die Summe[n=0...oo] – ( 1 / (x^2+n^2)^2) (also die Summe der gliedweisen Ableitungen) gleichmäßig konvergent ist. Ist das richtig, wenn ich die auch wieder mit 1/n^2 abschätze?
Kann ich dann schon folgern, dass f(x) beliebig oft differenzierbar ist?
Kann man eigentlich auch die n-te Ableitung angeben?
Joon
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1075
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 16:50: |
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Die Summanden ergeben abgeleitet -2x/(x² + n²)². Das kann nicht durch 1/n² abgeschätzt werden. Ich würde die Funktion erst einmal nur auf einem Intervall I = [-m,m] betrachten. Dann ist |-2x/(x² + n²)²| <= 2m/n². Folglich (wieder mit Weierstraß) konvergiert die Reihe auf I gleichmäßig, und somit ist auf I die Ableitung der Reihe gleich der Reihe der Ableitungen. Nun m gegen Unendlich schicken!
Jetzt haben wir leider nur die erste Ableitung, und ich fürchte, dieses Spielchen muss für jede Ableitung durchgeführt werden.
Ob man die n-te Ableitung angeben kann? Ich denke nicht. Kann man denn f(x) explizit angeben?? Dann würde sich die Frage nach der Differenzierbarkeit vielleicht einfacher ergeben.
Ist das eine Hausaufgabe, oder wofür brauchst du das? |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 204
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 18:54: |
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Hallo :
Falls euch das etwas nützt:
Durch Induktion beweist man leicht, dass
n-te Ableitung des k-ten Summanden
= P_n(x,k)/(x^2 + k^2)^(n+1) ist.
Dabei ist P_n(x,k) ein Polynom höchstens n-ten
Grades in x und höchstens (2n-2)-ten Grades in k.
Das folgt aus der Rekursion
P_(n+1) = (x^2+k^2)*(P_n)'- (2n+2)*x*P_n, P_0 = 1.
Daher lässt sich der Betrag des k-ten Summanden
der n-ten Ableitung (n>=1) durch C*k^(-4)
abschätzen.
mfg
Orion
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Joon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 19:12: |
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Vielen Dank für die beiden Beiträge.
Ja, es ist eine Hausaufgabe und ich glaube jetzt habe ich sie endlich verstanden.
Nochmals Danke .
Joon |
