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Beitrag |
    
Andre
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 12:48: | 
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gesucht ist das Anfangswerteproblem y ( 0 ) = 0.2
y' + x^2 * y' = x - 4*X*y^2
vielen Dank
Andre |
exd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 14:16: |
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Du meinst mit X auch x?
Ansonsten kann alles nachfolgende falsch sein:
Löse z.B. durch Trennung der Variablen:
y' + x^2 * y' = x - 4xy^2
(1+x²)dy/dx = x(1-4y²) | *dx /(1+x²) /(1-4y²)
dy/(1-4y²) = xdx/(1+x²)
eine Stammfunktion von 1/(1-4y²) erhalte durch Partialbruchzerlegung und anschließende Integration:
1/(1-4y²) = A/(1-2y) + B/(1+2y)
Koeff.-vgl.:
A=½, B=½
also
1/(1-4y²) = 1/(2-4y) + 1/(2+4y)
und damit
ò dy/(1-4y²) = -¼ln|2-4y| + ¼ln|2+4y| = ln([(2+4y)/(2-4y)]¼)
eine Stammfunktion von x/(1+x²) ist ½ln|1+x²|.
aus
dy/(1-4y²) = xdx/(1+x²)
folgt also:
ln([(2+4y)/(2-4y)]¼) = ½ln|1+x²| + ln(c)
[(2+4y)/(2-4y)]¼ = (1+x²)½ *c
nach y umstellen ergibt schließlich:
y = (c4(1+x²)²-1)/(2c4(1+x²)²+2)
Überprüfen der Lösung z.B. in Maple mit
y:=(c^4*(1+x^2)^2-1)/(2*c^4*(1+x^2)^2+2);normal( diff(y,x) + x^2 * diff(y,x) = x - 4*x*y^2 );
- es ergibt sich auf beiden Seiten dasselbe -
AWP: y(0)=0.2
=>
0.2 = (c4(1+0²)²-1)/(2c4(1+0²)²+2)
0.2 = (c4*1-1)/(2c4*1+2)
0.2 = ½(c4-1)/(c4+1) | *2
0.4 = (c4-1)/(c4+1) |*(c4+1)
0.4(c4+1) = c4-1
0.4c4- c4 = -1-0.4
-0.6c4 = -1.6
c4 = 8/3
c=4Ö(8/3)
boin mir bei dieser letzten Lösung nicht mehr sicher (evtl. 7/3 statt 8/3 ? )
- keine Zeit mehr dies überprüfen, muss weg..
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Andre
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 15:37: |
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vielen Dank
und
x und X sind gleich |
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