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teilerfremdes Produkt zeigen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Zahlentheorie » teilerfremdes Produkt zeigen « Zurück Vor »

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Cindy (cindyy)
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Mitglied
Benutzername: cindyy

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 08-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 14:54:   Beitrag drucken

ist jede der Zahlen a1,....,am zu jeder der Zahlen b1,.....,bn.teilerfremd, so ist auch das Produkt a1*.....*am. teilerfremd zu dem Produkt b1*.....*bn.
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Xell (vredolf)
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Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 16:35:   Beitrag drucken

Hi Cindy!

Hier ein Versuch, diesen (sehr einleuchtenden!) Satz zu beweisen:

Es ist: ggT(a,b)=1 und ggT(a,c)=1 => ggT(a,b*c)=1

Entweder, A:=prod(i=1..m) a_i > B:=prod(i=1..n) b_i
oder A=B oder A < B.
Wenn A=B, und A,B > 1, dann ist ggT(A,B) <> 1, da A/B=1
und A,B > 1. Also ist A <> B.

Falls A > B, dann muss A/B kürzbar sein. Dann muss es aber
zumindest einen gemeinsamen Faktor p>1 in A und B geben,
der selbstredend auch Faktor einer Zahl a_k und b_l bzw.
diese Zahl selbst sein muss.
Wenn a_k=b_l=p, dann ist ggT(a_k,b_l) >= p > 1, somit
sind nicht alle a_i und b_j teilerfremd, was der Voraussetzung
widerspricht.
Ist p nur ein Teiler von a_k und b_j, dann gilt a_k = p*q
und b_j=p*r, wobei q,r > 1.
Demnach besitzt A/B die Darstellung
A/B = (p*q*R(A))/(p*r*R(B)); hierbei ist R(A) derm Rest
des Produktes A, also R(A)*a_k = A, analog mit R(B).
Offensichtlich ist A/B dann aber noch nicht vollständig
gekürzt => Widerspruch zur Annahme.
Analog kann man dies nun für A < B anwenden und kommt dann
zum Schluss, dass, wenn es Faktoren aus A und B gibt,
die nicht teilfremd sind, A/B auch nicht vollständig
gekürzt ist, also ggT(A,B) <> 1.
Da 6/21 als Quotient aus Produkten nicht mehr weiter zu
kürzen ist und hier offenbar stets alle Faktoren des Zählers
paarweise zu denen des Nenners teilerfremd sind, gibt es
solche Produkte A und B, wie in der Aufgabenstellung
beschrieben.

Es müssen also alle a_i und b_j paarweise teilerfremd
sein, damit A und B teilerfremd sind.

Grüße, X.
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Xell (vredolf)
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Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 16:40:   Beitrag drucken

6/21 ist natürlich noch kürzbar, gemeint war hier eher 10/21

"Trennen und Zählen lag nicht in meiner Natur."
Goethe

Gruß, X.
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1038
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 17:31:   Beitrag drucken

Hallo Cindy und Xell,

@Xell: Gestattest du, dass ich versuche, etwas mehr Licht in die Sache zu bringen?

Voraussetzung: ggT(ai,bj) = 1 für 1 <= i <=m, 1<= j <= n
Behauptung: ggT(a1*.....*am,b1*.....*bn) = 1.

Annahme ggT(a1*.....*am,b1*.....*bn) = d > 1.

Dann ist d ein Teiler von a1*.....*am und von b1*.....*bn.

p sei eine Primzahl, die d teilt (eventuell d = p, falls d schon selbst prim).

Dann ist p ein Teiler von a1*.....*am und von b1*.....*bn.

Beh: Es gibt i und j, sodass p ein Teiler von ai und von bj ist.

Wenn diese Behauptung bewiesen ist, sind wir fertig, denn dann ist ggT(ai,bj) >= p > 1, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Die Behauptung folgt aus folgender Tatsache, die hier ohne Beweis verwendet wird:

Ist p prim und p ein Teiler von x * y, so ist p ein Teiler von x oder von y.

Wendet man nun diesen Satz auf x = a1*.....*a{m-1} und y = am an, so folgt, dass p ein Teiler von a1*.....*a{m-1} oder von am ist. Im zweiten Fall haben wir i=m gefunden. Im ersten Fall muss der Satz erneut angewandt werden auf x = a1*.....*a{m-2} und y = a{m-1}. U.s.w. bis schließlich ein i gefunden ist. Das j wird analog bestimmt.
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Esfor
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 19:02:   Beitrag drucken

*g* wie passend:

"mehr Licht."
Goethe
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1040
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 19:13:   Beitrag drucken

Hoffe, dass es Cindy aufgegangen ist und nicht sagen muss "hier steh ich nun ich armer Tor und bin so klug als wie zuvor!"

*g*

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