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Cindy (cindyy)
Mitglied Benutzername: cindyy
Nummer des Beitrags: 15 Registriert: 08-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 14:54: |
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ist jede der Zahlen a1,....,am zu jeder der Zahlen b1,.....,bn.teilerfremd, so ist auch das Produkt a1*.....*am. teilerfremd zu dem Produkt b1*.....*bn. |
Xell (vredolf)
Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 40 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 16:35: |
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Hi Cindy! Hier ein Versuch, diesen (sehr einleuchtenden!) Satz zu beweisen: Es ist: ggT(a,b)=1 und ggT(a,c)=1 => ggT(a,b*c)=1 Entweder, A:=prod(i=1..m) a_i > B:=prod(i=1..n) b_i oder A=B oder A < B. Wenn A=B, und A,B > 1, dann ist ggT(A,B) <> 1, da A/B=1 und A,B > 1. Also ist A <> B. Falls A > B, dann muss A/B kürzbar sein. Dann muss es aber zumindest einen gemeinsamen Faktor p>1 in A und B geben, der selbstredend auch Faktor einer Zahl a_k und b_l bzw. diese Zahl selbst sein muss. Wenn a_k=b_l=p, dann ist ggT(a_k,b_l) >= p > 1, somit sind nicht alle a_i und b_j teilerfremd, was der Voraussetzung widerspricht. Ist p nur ein Teiler von a_k und b_j, dann gilt a_k = p*q und b_j=p*r, wobei q,r > 1. Demnach besitzt A/B die Darstellung A/B = (p*q*R(A))/(p*r*R(B)); hierbei ist R(A) derm Rest des Produktes A, also R(A)*a_k = A, analog mit R(B). Offensichtlich ist A/B dann aber noch nicht vollständig gekürzt => Widerspruch zur Annahme. Analog kann man dies nun für A < B anwenden und kommt dann zum Schluss, dass, wenn es Faktoren aus A und B gibt, die nicht teilfremd sind, A/B auch nicht vollständig gekürzt ist, also ggT(A,B) <> 1. Da 6/21 als Quotient aus Produkten nicht mehr weiter zu kürzen ist und hier offenbar stets alle Faktoren des Zählers paarweise zu denen des Nenners teilerfremd sind, gibt es solche Produkte A und B, wie in der Aufgabenstellung beschrieben. Es müssen also alle a_i und b_j paarweise teilerfremd sein, damit A und B teilerfremd sind. Grüße, X. |
Xell (vredolf)
Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 41 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 16:40: |
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6/21 ist natürlich noch kürzbar, gemeint war hier eher 10/21 "Trennen und Zählen lag nicht in meiner Natur." Goethe Gruß, X. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1038 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 17:31: |
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Hallo Cindy und Xell, @Xell: Gestattest du, dass ich versuche, etwas mehr Licht in die Sache zu bringen? Voraussetzung: ggT(ai,bj) = 1 für 1 <= i <=m, 1<= j <= n Behauptung: ggT(a1*.....*am,b1*.....*bn) = 1. Annahme ggT(a1*.....*am,b1*.....*bn) = d > 1. Dann ist d ein Teiler von a1*.....*am und von b1*.....*bn. p sei eine Primzahl, die d teilt (eventuell d = p, falls d schon selbst prim). Dann ist p ein Teiler von a1*.....*am und von b1*.....*bn. Beh: Es gibt i und j, sodass p ein Teiler von ai und von bj ist. Wenn diese Behauptung bewiesen ist, sind wir fertig, denn dann ist ggT(ai,bj) >= p > 1, im Widerspruch zur Voraussetzung. Die Behauptung folgt aus folgender Tatsache, die hier ohne Beweis verwendet wird: Ist p prim und p ein Teiler von x * y, so ist p ein Teiler von x oder von y. Wendet man nun diesen Satz auf x = a1*.....*a{m-1} und y = am an, so folgt, dass p ein Teiler von a1*.....*a{m-1} oder von am ist. Im zweiten Fall haben wir i=m gefunden. Im ersten Fall muss der Satz erneut angewandt werden auf x = a1*.....*a{m-2} und y = a{m-1}. U.s.w. bis schließlich ein i gefunden ist. Das j wird analog bestimmt. |
Esfor
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 19:02: |
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*g* wie passend: "mehr Licht." Goethe
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1040 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 19:13: |
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Hoffe, dass es Cindy aufgegangen ist und nicht sagen muss "hier steh ich nun ich armer Tor und bin so klug als wie zuvor!" *g* |
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