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Ich brauche hilfe

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Karima El-Makhtari (karima)
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Neues Mitglied
Benutzername: karima

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 13:51:   Beitrag drucken

HAllo ich hoffe es kann mir jemand helfen!!!
Hier ist die Aufgabenstellung!!!

Eine Folge (fn) gegen unendlich und n=0 heiße (für diese Aufgabe) zulässig,wenn gilt

f n+2 ( index) = 1/2 ( f n+1 (index) + f n (index) n element aus N.

a) Zeigen Sie :Es gibt genau 2 Zahlen Lambda(1) und Lambda(2) < Lambda(1) in R so ,dass mit an (index) := Lambda(1) Hoch N , bn (index):= Lambda(2) hoch n; n Element aus N, die Folge ( an) gegen unendlich und n=0 und (bn) gegen unendlich und n=0 zulässig sind.

b)Seien a,b Elemtent aus R gegeben ,und sei die Folge (gn) gegen unendlich und n=0 rekursivdefiniert durch


g0 := a, g1 :=b ;

g n+2 (index) := 1/2 ( gn+1 (index) + gn), n Element aus N.

Damit ist die Folge (gn) gegen unendlich und n=0 zulässig.Best8immen Sie Alpha ,betha Elemet aus R mit Alpha +Betha= a, Alpha Lambda(1) + Betha LAmbda(2)=b.
Zeigen Sie ,dass damit gilt Alpha an + Betha bn = gn , n Element aus N, und das die Folge (gn) gegen unendlich und n=0 konvergent ist.
Bestimmen sie ferner d:= lim n gegen unendlich gn..


Na ich hoffe mir kann jemand helfen mir reichen auch nur Ansatzhilfen.Danke in vorrraus!!!!!
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1041
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 19:38:   Beitrag drucken

Hallo Karima,
ist gar nicht so schwer!

Schreibe a_n für "a index n" und a^n für "a hoch n".

Gesucht sind also Folgen (f_n) mit

(R) f_{n+2} = (f_{n+1} + f_n)/2.

In a) wird behauptet, dass eine Folge der Form a_n = lambda^n dies erfüllen könnte. Na, dann setz einfach für f_n das Folgeglied a_n ein (und für f_{n+2} dann natürlich a_{n+2} und a_{n+1} für f_{n+1} ):

lambda^{n+2} = (lambda^{n+1} + lambda^n)/2

Das soll für alle n gelten.

Diese Gleichung lässt sich lösen! Es gibt genau zwei Lösungen....

(lamda = 0 fällt flach, da für n = 0 nicht erfüllt.)

Jetzt hast du also schon mal zwei Folgen, die der Rekursion (R) genügen. Wenn du richtig rechnest, stellst du fest, dass beide Folgen konvergieren.

Überlege dir jetzt (mit vollständiger Induktion): Wenn (a_n) und (b_n) Folgen sind, die (R) erfüllen, und x,y aus R beliebig, dann erfüllt auch die Folge (c_n) mit c_n = x * a_n + y * b_n die Rekursion (R). Außerdem gilt: Wenn lim a_n = A und lim b_n = B, dann ist lim c_n = x*A + y*B.

D. h. aus den beiden Folgen aus (a) können unendlich viele Folgen gebastelt werden, die (R) erfüllen.

Die Folge (g_n) ist jetzt definiert durch (R) und g_0 = a, g_1 = b. Versuche, g_n in der Form g_n = x * a_n + y * b_n zu schreiben. Für n = 0,1 führt das genau auf die beiden Gleichungen x + y = a, x*lambda_1 + y*lambda_2 = b.

x*a_n + y*b_n = g_n lässt sich jetzt einfach durch Induktion beweisen.

Wenn x und y berechnet sind, kannst du nun den Grenzwert d berechnen (s.o.).

Hoffe, das reicht dir als Tipp.
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Helld
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 18:37:   Beitrag drucken

Mal noch so eine Frage bezüglich der Aufgabenstellung: was heißt in diesem Zusammenhang "zulässig" ? Speziell: ...die Folgen (a_n) und (b_n) zulässig sind ?
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1058
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 11:56:   Beitrag drucken

Steht doch alles da: "zulässig" heißt, dass (R) erfüllt ist.

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