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M.M. (iceman79)
Junior Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:03: | 
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Für eine Menge X betrachte man die Menge Bij(X,X) der bijektiven Selbstabbildungen. Prüfe nach, daß Bij(X,X) unter Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet. Zeige, daß diese nicht kommutativ ist, sofern X mindestens 3 verschiedene Elemente besitzt.
Danke. |
Thomas (ende)
Neues Mitglied
Benutzername: ende
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 17:35: |
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Hallo, iceman!
Komisch, ich hatte schon einmal auf diese Frage geantwortet. Aber anscheinend ist wohl meine Verbindung zusammengebrochen, bevor die Antwort angekommen war. Nun also erneut.
Also. Die Gruppeneigenschaften kannst Du selbst nachpruefen. Das ist auch wirklich nicht schwierig. Das kriegst Du schon hin. Sonst musst Du nochmal nachfragen.
Ich zeige also nur die Behauptung ueber die Kommutativitaet.
Es sei also X eine Menge und seien x1, x2, x3 aus X paarweise verschieden.
Nun betrachte die beiden Abbildungen s, t von X nach X, die wie folgt definiert sind:
s(xi) := xi+1 fuer alle i aus {1, 2, 3}, wobei x4 := x1 sei.
t(x1) := x3,
t(x2) := x2,
t(x3) := x1.
Fuer alle x aus X-{x1, x2, x3} sei s(x) := t(x) := x.
Dann sind t und s Bijektionen. Das ist auch leicht nachzupruefen. Aufgabe fuer Dich. ;-)
Ausserdem ist s°t(x1) = s(t(x1)) = s(x3) = x1, und weiterhin t°s(x1) = t(s(x1)) = t(x2) = x2.
Weil die xi nach Voraussetzung paarweise verschieden waren, gilt also s°t(x1) != t°s(x1), also s°t != t°s. Damit ist (Bij(X, X), °) nicht kommutativ. Das war aber zu zeigen.
Gruss, E. |
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