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M.M. (iceman79)
Neues Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 12:27: | 
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Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe von G ist eine Teilmenge H von G für die gilt:
a) H enthält das neutrale Element von G
b)Für alle x e H gilt auch 1/x e H
c)Für alle x e H und alle y e H gilt auch xy e H
Seien nun H1 und H2 Untergruppen von G. Zeige:
1) H1 Durchschnitt H2 ist eine Untergruppe von G
2) H1 U H2 ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn H1 Teilmenge H2 oder H2 Teilmenge H1 gilt.
Danke.
(Beitrag nachträglich am 06., Mai. 2002 von iceman79 editiert) |
Ende@MP
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 13:39: |
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Hallo, iceman!
Ohne weitere Umschweife gleich zu den Aufgaben.
Ad 1):
Das ist doch geradezu trivial, wenn Du mal genau hinsiehst. Wir pruefen
a): H1 und H2 sind Untergruppen. Also enthalten beide das neutrale Element von G. Also enthaelt auch der Schnitt der beiden das neutrale Element von G.
b): Es sei nun x aus dem Schnitt. Dann ist x aus H1 und x aus H2. H1 und H2 sind aber Untergruppen. Also gilt auch 1/x aus H1 und 1/x aus H2. Also ist doch 1/x auch aus dem Schnitt von H1 und H2.
c): Hier genauso. Es seien x, y aus dem Schnitt. Dan sind x, y aus H1, H2. Also xy aus H1, H2, also aus dem Schnitt.
Damit ist 1) erledigt.
Ad 2):
Zwei Richtungen.
<=: Es sei o.B.d.A. H1 Teilmenge von H2. Dann ist H1 u H2 = H2. H2 ist nach Voraussetzung Untergruppe. Fertig.
=>: Wir zeigen per Kontraposition. Es sei also weder H1 c H2 noch H2 c H1. Zu zeigen: Dann ist H1 u H2 auch keine Gruppe.
Dann gibt es h1 aus H1\H2 und h2 aus H2\H1. Behauptung: h1h2 ist nicht aus H1 u H2. Waere naemlich h1h2 aus H1 u H2, dann waere h1h2 aus H1 oder h1h2 aus H2. Wir betrachten den Fall h1h2 aus H1. Wegen h1 aus H1 ist auch 1/h1 aus H1. Dann waere auch h2 = 1/h1*h1h2 aus H1. Das ist aber ein Widerspruch zur Wahl von h2. Genauso argumentiert man, dass h1h2 nicht aus H2 sein kann.
Insgesamt ist also h1h2 nicht aus H1 u H2, obwohl h1, h2 aus H1 u H2 sind. Damit ist H1 u H2 keine Gruppe. Fertig.
Gruss, E. |
M.M. (iceman79)
Junior Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 18:25: |
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Nochmals danke |
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