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M.M. (iceman79)
Neues Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 12:18: | 
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Für eine Menge X betrachte man die Menge Bij(X,X) der bijektiven Selbstabbildungen. Prüfe nach, daß Bij(X,X) unter Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet. Zeige, daß diese nicht kommutativ ist, sofern X mindestens 3 verschiedene Elemente besitzt.
Danke. |
Ende@MP
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 13:56: |
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Hallo, iceman.
Die Gruppeneigenschaften kriegst Du doch bestimmt hin, oder?
Ich beantworte mal nur die Frage zur Kommutativitaet.
X besitze also 3 paarweise verschiedene Elemente x1, x2, x3.
Definiere die Abbildungen s, t von X nach X mit:
s(xi) := xi+1, wobei x4 := x1 sei.
t(x1) := x3,
t(x2) := x2,
t(x3) := x1.
Fuer alle x aus X-{x1, x2, x3} sei definiert s(x) := t(x) := x.
Dann sind s und t Bijektionen. Das ist leicht nachzurechnen, das ueberlasse ich auch Dir. ;-)
Dann ist s°t(x2) = s(t(x2)) = s(x2) = x3, und
t°s(x2) = t(s(x2)) = t(x3) = x1.
Weil die xi aber paarweise verschieden gewaehlt waren, gilt insbesondere s°t(x2) = x3 != x1 = t°s(x2). Also s°t != t°s, also ist Bij(X, X) fuer X mit |X|>2 nicht kommutativ bezueglich der Hintereinanderausfuehrung als Verknuepfung.
Gruss, E. |
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