| Autor |
Beitrag |
    
Mela
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 17:46: | 
|
Hallo ihr, ich hab folgendes Problem:
Beschreibe Kurve zu:
|z+2i|+|z-2i|=6
Kann jemand helfen?
Danke. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 12:15: |
|
Hi Mela, Lösungsmenge ist die Menge aller Punkte der komplexen Zahlenebene, bei denen die Summe der Abstände zu 2i bzw. -2i gleich 6 ist. Lösungsmenge ist also eine Ellipse mit den Brennpunkten 2i und -2i. Eine fast identische Aufgabe wurde schon einmal gestellt. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 13:23: |
|
Hi Gani, hi Mela,
Eure Aufgabe ist im ganzen Board omnipräsent.
Es ist an der Zeit, sie zu lösen
Prima vista ist folgendes zu sagen:
Die gesuchte Ortskurve des Punktes P, welcher der
komplexen Zahl
z = x + i y in der Zahlenebene von Gauss entspricht,
ist eine Ellipse, deren Brennpunkte F1 und F2 auf der
y-Achse liegen.
Die x - Koordinaten dieser Punkte sind beide null,
die y-Koordinaten sind minus 2 und plus zwei,
denn diese Punkte entsprechen den (rein imaginären) Zahlen
-2i und + 2i .
Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt der Ellipse.
Die Absolutbeträge, die in der gestellten Aufgabe auftreten,
sind ja nichts anderes als die Abstände des variablen Punktes z
von den genannten Punkten
Eine konstante Abstandssumme des laufenden Punktes
ergibt bekanntlich eine Ellipse.
Die Daten dieser Ellipse sind:
Grosse Halbachse a = ½ *6 = 3
(Hälfte der genannten Abstandssumme)
Lineare Exzentrizität e als Hälfte des Abstandes
der Brennpunkte, also e = 2
Für die kleine Halbachse b gilt : b^2 = a^2 - e^2 = 5,
somit b = wurzel(5).
Achtung: Die y-Achse ist Fokalachse ,entgegen dem
üblichen Gebrauch einer Ellipse in Schulaufgaben,somit liegen
die Hauptscheitel A und B auf der y-Achse.
Man erhält diese, indem man a = 2
vom Nullpunkt aus nach beiden Seiten hin abträgt.;
trägt man b = wurzel (5) von O aus auf der x-Achse ab,
so erhält man die Nebenscheitel.
Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse lautet
9 x ^ 2 + 5 y ^ 2 = 45
Diese Gleichung lässt sich auch direkt, wenn auch
etwas umständlich, aus der gegebenen komplexen
Bedingungsgleichung herleiten
Auf Wunsch werde ich dies tun.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Mela
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 15:37: |
|
Super, jetzt hat's klick gemacht. Dankeschön. Ciao Mela. |
anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 18:01: |
|
Hallo! Kann mir jemand helfen? Bitte!
Mein Problem:
Welche Kurven werden durch z/(z²+1)=2 beschrieben? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 23:16: |
|
Hallo Zaph und megamath, Mela hatte Glück, dass mich ihre Frage nach einer Kurve (also nicht bloß nach einem Punkt) zum zweifeln an meiner Lösung gebracht hat, sonst müsste sie sich mit meiner falschen Lösung herumschlagen:
(1) Mit z=x+iy, x und y seien reell,
komme ich bei Melas Gleichung
|z+2i|+|z-2i|=6
(2) auf |x+iy+2i| + |x+iy-2i| = 6
(3) |x+i(y+2)| + |x+i(y-2)| = 6
Mit der Definition des Betrages im komplexen:
(4) |z| = Ö(z*z') bzw. |a+ib| = a2 + b2
komme ich auf
(5) x2 + (y+2)2 + x2 + (y-2)2 = 6
(6) 2x2 + y2 + 4y + 4 + y2 -4y + 4 = 6
(7) 2x2 + 2y2 + 8 = 6 | -8
(8) 2x2 + 2y2 = -2 | :2
(9) x2 + y2 = -1
Diese Gleichung ist für kein reelles x und y erfüllt. Also keine Lösung. Es käme eine heraus, wenn statt der 6 eine Zahl stünde, die mindestens 8 ist, aber selbst dann bekäme ich keine Ellipse, sondern nur einen Kreis.
In welcher Zeile liegt mein dummer Fehler?
Es grüßt Euch herzlich
Bernd
Und wenn ihr euch das untere auch noch anschauen mögt:
**************************************************
**************************************************
Hallo anonym, mach lieber neuen Beitrag auf, ich weiß nicht, ob du mir nach obenstehendem noch glauben solltest, auf einmal stimmt bei mir im komplexen gar nichts mehr...
ich bekomme nach Multiplikation mit (z²+1) auf beiden Seiten, Subtraktion von z und anschließender Anwendung der p-q-Formel nur das Wertepaar
z = (1±iÖ15)/4 heraus.
Keine Ahnung, wie man auf eine Kurve kommen soll. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 23:37: |
|
Hi Bernd, das ist dein Fehler:
|a + ib| = Ö(a² + b²)
Du hast die Wurzel vergessen!
Bei Anonyms Frage gebe ich dir Recht: die Lösung besteht aus zwei Punkten, und nicht aus einer Kurve. |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 16:13: |
|
Danke Euch für eure Hilfe, auch wenn keine Kurve rausgekommen ist. Ich versteh auch nicht was die Frage dann soll.War aber in der Mathe Klausur genauso gestellt. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 16:13: |
|
Hi Zaph, danke für die Korrektur, der Fehler war wirklich dumm.
Dreimal gerechnet, jedesmal total blind für die Wurzel.
Vielen Dank nochmal fürs Augenöffnen.
Gruß, Bernd |
anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. November, 2000 - 19:25: |
|
HI Ihr !Ich hab jetzt die Lösung für z/(z²+1):
z=x+iy =>
x+iy=2(x+iy)²+2
x+iy-2x²-4xyi+2y²=2
-2x²+2y²+x+i(-4xy+y)=2
Re(z)=-2x²+2y²+x=2
x²-y²-1/2x=-1
x²-1/2x+1/16-y²=-15/16
Dies ist ene Hyperbel.
Im(z)=-4xy+y=0
y(1-4x)=0
x=1/4
Dies ist eine Paralelle zur Im-Achse. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. November, 2000 - 19:51: |
|
Mag sein. Du hast also zwei Kurven. x + iy muss auf beiden dieser Kurven, also auf dem Schnittpunkt der Kurven liegen. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte. Das sind die, die Bernd berechnet hat.
War das jetzt deine eigene Lösung oder die Musterlösung? Falls zweiteres zutrifft, würde ich noch mal zum Übungsgruppenleiter rennen! |
|
