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Schon wieder so ne Textaufgabe!

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Sandra N.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 19:31:   Beitrag drucken

Hallo!
Hieronymus B. Eisenbahn entdeckte im Jahre 1789 die Eisenbahninsel Sun Tse mit n Orten (n Element N) und genau einem Weg zwischen zwei Orten! Die Wege waren so schmal,dass nur in eine Richtung gefahren werden konnte. Der Herrscher der Insel hatte deshalb nur eine Fahrtrichtung für jede Strecke zwischen zwei Orten zugelassen! Eisenbahn schaffte es unter Beachtung dieser Regelung eine Route zu finden auf der jeder Ort genau einmal vorkommt. Wie war das möglich? War es ein Zufall?

Tut mir leid euch schon wieder mit so etwas zu kommen, aber bei Textaufgaben hab ich Probleme! Da fühl ich mich fast schon doof!

Gruß und Danke, Sandra
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Sandra N.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 14:05:   Beitrag drucken

Zuerst Entschuldigung der Mann heißt natürlich Einbahn!!!!!!

Und Ich bitte euch nochmal: Bitte helft mir weiter!!!!!!!!

Grüßle Sandra
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 270
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 14:07:   Beitrag drucken

?UniNiveau? Wenn weiter keine Einschränkungen gegeben sind, "topologisch" einen Kreis bilden
( o1, o2, ...,on,o1)
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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1042
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 21:18:   Beitrag drucken

@Friedrich: Natürlich gibt es Einschränkungen - alle Straßen sind EINBAHN-Straßen.

Wenn z. B. alle Straßen, die bei o1 starten, Einbahnstraßen in Richtung o1 sind, dann funktioniert deine Lösung nicht, da o1->o2 verboten ist.

Es ist übrigens nach keiner Rundtour gefragt, sondern nach einer Route, die jeden Ort genau einmal enthällt.
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Steve
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 08:09:   Beitrag drucken

Recht interessante Diskussion! Wobei ich Zaph recht geben muss! Eine Rundtour ist laut Text der Aufgabe komplett ausgeschlossen, da bei einer solchen immer zumindest der Ausgangspunkt zweimal vorkommt!!!!

Ich würde Sandra gerne helfen, aber ich weiß auch nicht so genau wie! Es ist kein Ausgangspunkt gegeben, keine Angaben über die Einbahnstrassen, also hat Friedrich vielleicht doch nicht ganz unrecht: und man muss von o1 eine Strasse als nicht Einbahnstrasse in Richtung o1 annehmen und loslegen! Wobei laut Text sowieso jeder Ort nur ein Srassenverbindung hat!

Also Sorry, Sandra ich bin mir nicht sicher wie oder was!
Gruß ST.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 278
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 11:10:   Beitrag drucken

"wenn es keine WEITEREN Einschränkungen gibt" hatte ich geschrieben.

Ich sehe keinen Ausschluß einer Rundtour.
Und man kann ja bei on halt machen.
Eine
weitere Lösungsmöglichkeit wäre eine Schachtelung von Ringen, und von Ring zu Ring je eine Verbindung nach innen und außen.

(Beitrag nachträglich am 08., Mai. 2002 von friedrichlaher editiert)
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1044
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 16:47:   Beitrag drucken

Also das ist die eigentliche Aufgabe:

Gegeben n Orte o1,...,on. Zwischen je zwei Orten befindet sich eine Straße, die aber nur in einer Richtung befahren werden darf. Zeige, dass es dann auf jeden Fall eine Tour p1,...,pn geben muss, sodass unter p1,...,pn jeder Ort o1,...,0n genau einmal vorkommt,und bei der nicht gegen die Einbahn-Regelung verstoßen wird.

(Was nicht ausschließt, dass es vielleicht auch eine Rundtour geben kann; aber wenn im Extremfall z. B. alle Einbahnstraßen von o1 weg führen, kann es solch eine Rundtour schon nicht mehr geben.)

Ich kenne die Lösung ... Sandra, bis wann brauchst du sie?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 279
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 17:52:   Beitrag drucken

der Graph hat also wirklich n*(n-1)/2 gerichtete
Kanten?, ohne oioi, und für m ungleich n nur entweder omon oder onom.

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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1045
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 18:42:   Beitrag drucken

Jenau! (Geht natürlich in echt nicht für n>=5, es sei denn, es sind Brücken zugelassen. Das sei hier aber außer acht gelassen.)
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 282
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 19:25:   Beitrag drucken

dann bleib ich bei der Schachtelung von Ringen, die erfordert garnicht alle Kanten.
Aber
vielleicht - was noch nicht explizit gefordert wurde -
sollen
auch Zyklen (ggf. nicht geschlossene) über alle möglichen Teilmengen ( >= 2 Elemente ) der Orte möglich sein.
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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1049
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 19:41:   Beitrag drucken

??? Weiß nicht, was du meinst ...

Formuliere doch mal die Aufgabe, so wie du sie verstehst. (Definiere bitte auch, was du unter einer Schachtelung von Ringen und unter nicht geschlossenen Zyklen verstehst.)

Ich denke dass folgendes gilt: Gegeben n Orte, von denen je zwei durch eine Einbahnstraße verbunden sind. Eine Straße ist gesperrt (Baustelle!). Dann kann es sein, wenn die Einbahn-Regelung ungünstig ist, dass es keine derartige Tour gibt!
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 283
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 20:26:   Beitrag drucken

wenn das Einbahnsystem durch den Löser der Aufgabe
bestimmt werden darf, läßt es sich so wählen daß wenigstens eine Folge von Verbindungen existiert, die alle Orte und jeden nur einmal, enthält und zum Ausgangspunkt zurückführt. Daür sind nur n der n*(n-1)/2 "Straßen" nötig. Die übrigen können dann beliebig gerichtet werden.
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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1050
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 22:47:   Beitrag drucken

Hallo Friedrich, ja daaaannnn ist es wirklich einfach ;-)

Hieronymus B. Eisenbahn kam doch aber auf die Insel NACHDEM der Herrscher sie Fahrtrichtungen festgelegt hat und hat dann die Route gefunden!

Hast du jetzt eine Idee, wie die Aufgabe (in meiner Fassung) gelöst werden kann?

Ich verrat es euch aber auch gern :-)
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 284
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 10:42:   Beitrag drucken

dann muß eben probiert werden,
und
wenn der Herrscher keinen Plan gezeichnet hat,
und/oder nicht preisgeben kann/will, und mit der Bevölkerung keine Verständigung möglich ist
muß
Einbahn eben ersteinmal in jedem Ort mindestens einmal gewesen sein.
Für jeden Ort in den er kommt merkt er sich die Wege auf denen er ihn erreicht und verlassen hat,
und nimmt, kommt er wiederholt in denselben Ort,
, wenn noch möglich einen anderen Weg,
wenn nichtmer, dann einen zu einem Ort von welchem aus er noch unbenutzte Wege hat.
Wenn es überhaupt eine Lösung gibt,
wird er schließlich in allen Orten gewesen sein und eine - vielleicht noch unvollständige Karte haben.
Für Orte wo nur mehr eine Verbindung unbekannt ist, weil nicht begangen, erschließt diese sich natürlich sofort ( 1 verbleibender Ort ) und wenn für den Ort am Ende dieser theoretisch erschlossenen Verbindung auch nur mehr eine unbestimmt war, ist sie es nun auch nicht mehr - usw.
Schließlich wird die Karte vollständig sein und anhand Ihrer ist dann ohne Beinarbeit mit "Backtracking" eine Lösung des Problems zu finden - oder seine Unlösbarkeit verifizierbar
(Backtracking:
wenn auf einem angefangenem Weg schließlich nur mehr ein schon aufgesuchter Ort erreichbar ist verfolgt man den Weg zurück bis in einen Ort wo man noch nicht alle wegführenden Straßen versucht hat - auf dem Plan, in Gedanken, ist das ja kein Problem
)
[Ariadnefaden: nach der Griechischen Sage dem Theseus von Ariadne mitgegebener Faden, mittels dessen er sich im Labyrinth des Minotaurus zurechtfand - daher auch "Labyrinthalgorithmus" für das Englische "Backtracking"
]
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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1052
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 11:03:   Beitrag drucken

Eisenbahn muss nicht selbst reisen. Der ASPC (Allgemeine Sun-Tse'sche Pferdekutschen Club) hat einen Straßenatlas veröffentlicht, in dem auch die Einbahn-Regeln aufgeführt sind.

Wieso kann jetzt solch eine Tour ermittelt werden? (Dass es immer solch eine Tour gibt, habe ich ja schon verraten.)

BTW: Die Tatsache, dass Eisenbahn in jedem Ort gewesen ist, würde ja schon implizieren, dass es eine Lösung gibt - vorausgesetzt natürlich, Eisenbahn hat sich bei seinen Reisen an die Regeln gehalten.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 285
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 11:16:   Beitrag drucken

ich meine, die Lösung/Verfahrensweise
habe ich schon angegeben.

BTW: nein, ohne den Atlas kann er zum herumirren
gezwungen gewesen sein und Orte mehr als einmal besucht haben.
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Sandra N.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 15:22:   Beitrag drucken

Hallo

Ich danke euch ja, dass ihr euch so mit dieser Aufgabe auseinander setzt, aber könnte mir jetzt bitte jemand einen präzisen Lösungsgang angeben? Der sich nicht in tausend Diskussionsbeiträgen versteckt?

Ich bräucht heut abend noch ne Lösung! Bitte!!!!

Gruß und Danke Sandra
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 288
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 17:05:   Beitrag drucken

ja, wenn Zaph nicht widersprechen will:
im
Wesentlichen,
was
ich unter "Backtracking" beschrieben habe:

(all die Suche natürlich im Atlas)

Man suche ein Paar i,j von Orten, Verbindung ij für die wi*wj kleinstmöglich ist
(wl sei die Anzahl der von einem Ort l wegführenden Wege)
und weiter
dann von j ausgehen den nächsten Ort k mit geringstem wk
und so weiter.
Kann man schließlich nur mehr schon besuchte Orte
erreichen
geht
man soweit zurück daß ein von dort aus noch nicht versuchter wegführender Weg zu einem noch nicht besuchtem Ort führt.
So
wird man schließlich alle Orte auf einem zusammenhängendem regelgerechtem Weg haben

Mann könnte sich die Mühe mit dem kleinstmöglichem Produkt zu Begin, und der kleinstmöglichen Anzahl wegführender Wege in der Folge,
auch
"sparen", kann mir aber vorstellen daß gerade das die Anzahl vergeblicher Versuche reduziert.
(
vergeblich war ein Versuch, wenn man
mehr oder weniger zurückgehen muß.
)
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1053
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 18:14:   Beitrag drucken

Hallo Sandra, hallo Friedrich,

@Sandra: Klar, wenn du noch an Antwort interessiert bist, bekommst du sie. (Hatte ich in meinem Posting von 8. Mai, 17:47 ja angekündigt.) Also hier zuerst die Lösung, bevor ich weiter unten noch auf Friedrichs Vorschlag eingehen werde. Ich wollte noch nicht gleich damit rausrücken, weil es für Friedrich ja anfangs scheinbar so trivisl schien.

Voraussetzung: Auf der Insel seien n Orte o1,...,on. Zwischen je zwei Orten befindet sich eine Straße, die aber nur in einer Richtung befahren werden darf. Die Schreibweise "oi->oj" soll bedeuten, dass die Straße zwischen oi und oj nur von oi nach oj, nicht aber von oj nach oi, befahren werden darf.

Behauptung: Es gibt eine "zulässige" Tour (p1,...,pn), d. h. unter p1,...,pn kommt jeder Ort o1,...,on genau einmal vor und pi->p{i+1} für i = 1,...,n-1.

Beweis: Wir führen den Beweis durch Induktion über n.

n = 1. Hier ist nichts zu zeigen, da es nur einen Ort gibt. (o1) ist eine zulässige Tour.

n = 2 (eigentlich überflüssig, aber trotzdem). Es gibt zwei Orte o1 und o2. Es gilt entweder o1->o2 oder o2->o1. Im ersten Fall ist (o1,o2) eine zulässige Tour, im zweiten Fall ist es (o2,o1).

Induktionsschritt. Für n-1 sei die Behauptung bewiesen. D. h. wir wissen, dass es eine zulässige Tour (p1,...,p{n-1}) durch die Orte o1,...,o{n-1} gibt. In diese Tour soll jetzt der Ort on eingebunden werden.

Wenn on->p1, dann ist (on,p1,...,p{n-1}) eine zulässige Tour, und wir sind fertig.
Andernfalls gilt p1->on.
Wenn on->p2, dann ist (p1,on,p2,...,p{n-1}) eine zulässige Tour, und wir sind fertig.
Andernfalls gilt p2->on.
Wenn on->p3, dann ist (p1,p2,on,p3,...,p{n-1}) eine zulässige Tour, und wir sind fertig.
Andernfalls gilt p3->on.
Fahre so fort (eigentlich ist hier wieder eine vollständige Induktion fällig...) Schließlich:
Wenn on->p{n-1}, dann ist (p1,...,,p{n-2},on,p{n-1}) eine zulässige Tour, und wir sind fertig.
Andernfalls gilt p{n-1}->on.
Nun haben wir aber die zulässige Tour (p1,...,,p{n-1},on). q. e. d.

@Friedrich: Mein letztes Posting war etwas missverständlich und z. T. fehlerhaft. Es geht in erster Linie nicht darum, eine Tor zu ermitteln, sondern darum, zu zeigen, dass es eine Tour gibt. (Der von mir gelieferte Beweis ist allerdings konstruktiv - man kann mit ihm die Tour ermitteln.) Außerdem hast du Recht, dass eine Tour durch alle Orte nicht impliziert, dass es solch eine Tour gibt, die jeden Ort genau einmal durchläuft.

Warum deine Methode letztendlich zum Ziel führen MUSS, ist mir leider überhaupt nicht klar.

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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 289
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 18:32:   Beitrag drucken

weil schlimmstenfalls alle Möglichkeiten ausgeschöpft werden.
----------
und behauptest Du auch es sei kein Verbindungssystem denkbar, das keine solche Tour erlaubt?

(Beitrag nachträglich am 09., Mai. 2002 von friedrichlaher editiert)
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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1055
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 19:05:   Beitrag drucken

Genau das behaupte ich. Wenn du dir den Beweis ansiehst, glaubst du mir hoffentlich - ich hoffe, er war verständlich! Und genau das ist wohl der Punkt, der bei dir fehlt (siehe letzter Satz in meinem letzten Posting).
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 290
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 20:57:   Beitrag drucken

es braucht eigentlich nur 2 Orte zu geben,
von denen kein weg wegführt - und schon ist kein Steckenzug durch alle Orte mehr möglich.
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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1056
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 23:28:   Beitrag drucken

Aber diese beiden Orte gibt es nicht! Denn zwischen ihnen bestünde eine Verbindung - entweder in die eine oder in die andere Richtung. Also führt von mindestens einer dieser Orte ein Weg weg.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 09:02:   Beitrag drucken

ja, ist mir über Nacht auch klar geworden.
Glaub,
man könnte das Ganze kurz so fassen:

Gibt es für n-1 Orte eine Lösung,
dann
ist der Extremfall für den n-ten Ort
Verbindungen
nur zu oder von diesem
-
wenn nur zu, ist er der Endpunkt der neuen Tour,
wenn nur von, der Anfangspunkt
sonst
sind u.U. mehrere Lösungen möglich.

BTW: Schläfst Du auch gelegentlich?
Gruß
F.
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Sandra N.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 17:45:   Beitrag drucken

Ich Danke euch beiden recht herzlich!

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