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Schuster Sibylle (aleika)
Neues Mitglied
Benutzername: aleika
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 17:17: | 
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Hi,
ich weiss leider nicht genau, wie ich diese Aufgaben loesen muss, vielleicht kan mir ja einer von euch helfen.
1, Ich muss alle a,b aus R bestimmen, fuer welche
u: x + iy abgebildet auf x^2 + 2axy + by^2 Realteil einer ganzen Funktion ist und dann fuer jedes solche (a,b) alle diese ganzen Funktionen angeben.
2, Berechne fuer den Rechtecksweg m=[1-i, 1+i, -1+i, -1-i, 1-i] das Integral 1\z dz. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 191
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 08:33: |
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Sibylle :
Hier einige Hinweise.
f(z) = u + iv ist holomorph in C g.d.w. f in C
komplex differenzierbar ist, d.h. wenn die
Cauchy-Riemannschen Dgln.
(1) v_x = - u_y , v_y = u_x
(u_x etc.: partielle Ableitung) erfüllt sind.
Nach (1) müssen u und v harmonische Funktionen
sein, d.h.:
(2) u_xx + u_yy = v_xx + v_yy = 0.
Daraus folgt zunächst eindeutig der Wert von b
(rechne selbst !). Nun bestimmen wir v mittels (1):
(3) v_x = -2ax - 2by
(4) v_y = 2x + 2ay.
Aus (3) folgt durch Integration
v = - ax^2 - 2bxy + g(y).
Setze dies in (4) ein und bestimme g(y).
2.Längs der Teilstrecke von 1-i bis 1+i ist
z = 1 + t*i , -1 =< t =< 1,
das entsprechende Teilintegral ist also
J_1 = i* int[-1...1] dt/(1+ti) =
i*int[-1...1] dt/(1+t^2) + int[-1...1]t*dt/(1+t^2}
= (pi/2)*i.
Nach dem Caucy'schen Integralsatz ist übrigens
klar, dass das Gesamtintegral den Wert 2*pi*i
hat.
mfg
Orion
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