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Tim
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 15:51: | 
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wer kann mir helfen?
Es sei f:[0,oo]->R gleichmäßig stetig, und es konvergiere Int 0 bis oo f(x)dx.Zeigen Sie(durch Widerspruchsbeweis mit dem Cauchy Kriterium), dass lim x->oo f(x)=0
Danke |
ysanne (ysanne)
Moderator
Benutzername: ysanne
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 20:05: |
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Das Cauchykriterium will, daß Integralstückchen beliebiger Länge gaaanz klein werden müssen, wenn man nur weit genug hinten in der Funktion schaut. Also wollen wir eigentlich nur Stückchen einer gewissen Länge finden, deren Integral, so weit hinten es auch sein will, immer noch halbwegs groß bleibt.
Das Cauchykriterium geht in exakter Form so:
Das Integral 0 bis unendlich von f(x) konvergiert genau dann, wenn zu jedem Epsilon>0 ein R existiert, so daß:
für jedes s,t mit t>s>R gilt: |integral s bis t von f(x)| < Epsilon
Annahme: lim x->0 f(x) != 0. <=>
es gibt ein eps>0, so daß für jedes reelle T ein zugehöriges t_T > T existiert, für das
|f(t_T)|>eps
gilt. Dh, f springt beliebig weit hinten immer noch mal aus dem epsilon-Schlauch um die 0 raus.
So, das f ist aber auch gleichmäßig stetig, also gilt: zu eps/2 gibt es ein D, so daß gilt:
|x-y|<d> |f(x)-f(y)|<(eps/2)
also mit d:=D/2 erst recht |x-y|<=d> |f(x)-f(y)|<(eps/2)
Wähle also ein beliebiges reelles T, und suche das dazugehörige t_T (ich kürze es faulheitshalber einfach als t ab), wo ja |f(t)|>eps. Dann gilt für jedes x aus [t,t+d]:
|t-x|<=d> |f(t)-f(x)|<(eps/2)
Dreiecksungleichung (mit Minus) anwenden
=> |f(t)|-|f(x)|<(eps/2)
=> |f(x)| > |f(t)|-(eps/2) > eps - (eps/2) = eps/2
Auf dem ganzen Intervall ist also |f(x)|>(eps/2)>0.
Der Zwischenwertsatz schließt auch einen Vorzeichenwechsel von f auf dem Intervall aus, es ist also auf ganz [t,t+d] entweder
|f(x)|=-f(x) für alle x
oder |f(x)|=f(x) für alle x.
Darum ist also
|Integral (t bis t+d) von f(x)| = Integral (t bis t+d) von |f(x)|
denn wir können das Vorzeichen konsistent rausziehen.
Jetzt der letzte Schritt:
|Integral (t bis t+d) von f(x)| = Integral (t bis t+d) von |f(x)| >
> Integral (t bis t+d) von (eps/2) = eps*d/2 =: m
Und da wir das ganze für beliebiges T gemacht haben, und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f das zu eps/2 gehörige d nicht von der untersuchten Stelle der Funktion abhängt, ist m eine feste Zahl, die auch nicht von T, t oder sonst etwas abhängt.
Also: Zu jedem reellen T finden wir ein t>T, und t+d>t>T, für das dann gilt:
|Integral (t bis t+d) von f(x)| > m
Das ist aber ein glatter Widerspruch zum Cauchykriterium, welches auch für Epsilon<m ein passendes R finden will, ab dem jedes Integralstückchen kleiner als sein Epsilon (nicht zu verwechseln mit eps!) wird.
Ich hoffe das hat geholfen. |
Tim
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 20:46: |
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Danke,
aber einige Fragen hätte ich schon noch.
warum heißt deine Annahme lim x->0 f(x) !=0
Was genau bedeutet das Ausrufezeichen.Das das nich konvergiert,denn nur dann würde doch eine Folgerung |f(t_T)|>eps Sinn machen,oder?
Aber wenn es nich konvergiert müsste es ja auch nich dem Cauchy-Kriterium genügen...
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ysanne (ysanne)
Moderator
Benutzername: ysanne
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 22:24: |
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a) != heißt "nicht gleich"
b) Lies das ganze nochmal, ich versuche die Druckfehler wegzueditieren.
c) Das Cauchykriterium ist doch das für die uneigentlichen Integrale.
Und nun zur weiteren Erklärung:
Die Aufgabe ist:
Voraussetzung:
1. Integral (0 bis oo) f(x) konvergiert.
2. f ist gleichmäßig stetig
Behauptung: f geht gegen 0
(mathematischer: lim x->oo f(x) = 0).
Annahme für Widerspruchsbeweis: f geht nicht gegen 0,
dh. lim x->oo != 0
(das sagt jetzt nicht, ob f überhaupt einen Limes hat oder immer mal schwankt, sondern nur, daß sie sicher nicht 0 als Limes hat)
Aus dieser Annahme versuche ich jetzt, einen Widerspruch zu einer Voraussetzung herzuleiten, und zwar der der Integral-Konvergenz. Dazu rechne ich eben ein wenig mit der Stetigkeit herum, und finde damit, daß eine Funktion f, die meiner Annahme genügt, das Cauchy-Integral-Kriterium nicht erfüllen kann. Darum kann eben auch das Integral nicht konvergieren. Das ist ein Widerspruch zu Voraussetzung 1 => Annahme falsch. => f geht doch gegen 0.
Bei weiteren Fragen einfach fragen! *G* |
ysanne (ysanne)
Moderator
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 22:24: |
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a) != heißt "nicht gleich"
b) Lies das ganze nochmal, ich versuche die Druckfehler wegzueditieren.
c) Das Cauchykriterium ist doch das für die uneigentlichen Integrale.
Und nun zur weiteren Erklärung:
Die Aufgabe ist:
Voraussetzung:
1. Integral (0 bis oo) f(x) konvergiert.
2. f ist gleichmäßig stetig
Behauptung: f geht gegen 0
(mathematischer: lim x->oo f(x) = 0).
Annahme für Widerspruchsbeweis: f geht nicht gegen 0,
dh. lim x->oo f(x)!= 0
(das sagt jetzt nicht, ob f überhaupt einen Limes hat oder immer mal schwankt, sondern nur, daß sie sicher nicht 0 als Limes hat)
Aus dieser Annahme versuche ich jetzt, einen Widerspruch zu einer Voraussetzung herzuleiten, und zwar der der Integral-Konvergenz. Dazu rechne ich eben ein wenig mit der Stetigkeit herum, und finde damit, daß eine Funktion f, die meiner Annahme genügt, das Cauchy-Integral-Kriterium nicht erfüllen kann. Darum kann eben auch das Integral nicht konvergieren. Das ist ein Widerspruch zu Voraussetzung 1 => Annahme falsch. => f geht doch gegen 0.
Bei weiteren Fragen einfach fragen! *G* |
ysanne (ysanne)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 22:34: |
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Ok, das Teil mit dem Editieren will nicht. Allgemein ist das Forum gerade ziemlich bockig.
Dann einfach die korrigierte Version hier:
Das Cauchykriterium geht in exakter Form so:
Das Integral 0 bis unendlich von f(x) konvergiert genau dann, wenn zu jedem Epsilon>0 ein R existiert, so daß:
für jedes s,t mit t>s>R gilt:
|integral s bis t von f(x)| < Epsilon
Annahme: lim x->oo f(x) != 0 <=>
es gibt ein eps>0, so daß für jedes reelle T ein zugehöriges t_T > T existiert, für das
|f(t_T)|>eps
gilt. Dh, f springt beliebig weit hinten immer noch mal aus dem epsilon-Schlauch um die 0 raus.
So, das f ist aber auch gleichmäßig stetig, also gilt: zu eps/2 gibt es ein D, so daß gilt:
|x-y|<D => |f(x)-f(y)|<(eps/2)
also mit d:=D/2 erst recht (beachte das kleinergleich!)
|x-y|<=d => |f(x)-f(y)|<(eps/2)
Wähle also ein beliebiges reelles T, und suche das dazugehörige t_T (ich kürze es faulheitshalber einfach als t ab), wo ja
|f(t)|>eps.
Dann gilt für jedes x aus [t,t+d]:
|t-x|<=d => |f(t)-f(x)|<(eps/2)
Dreiecksungleichung (mit Minus) anwenden
=> |f(t)|-|f(x)|<(eps/2)
=> |f(x)| > |f(t)|-(eps/2) > eps - (eps/2) = eps/2
Auf dem ganzen Intervall ist also
|f(x)| >(eps/2) > 0.
Der Zwischenwertsatz schließt auch einen Vorzeichenwechsel von f auf dem Intervall aus, es ist also auf ganz [t,t+d] entweder
|f(x)|=-f(x) für alle x
oder |f(x)|=f(x) für alle x.
Darum ist also
|Integral (t bis t+d) von f(x)| = Integral (t bis t+d) von |f(x)|
denn wir können das Vorzeichen konsistent rausziehen.
Jetzt der letzte Schritt:
|Integral (t bis t+d) von f(x)| =
= Integral (t bis t+d) von |f(x)| >
> Integral (t bis t+d) von (eps/2) =
= eps*d/2 =: m
Und da wir das ganze für beliebiges T gemacht haben, und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f das zu eps/2 gehörige d nicht von der untersuchten Stelle der Funktion abhängt, ist m eine feste Zahl, die auch nicht von T, t oder sonst etwas abhängt.
Also: Zu jedem reellen T finden wir ein t>T, und t+d>t>T, für das dann gilt:
|Integral (t bis t+d) von f(x)| > m
Das ist aber ein glatter Widerspruch zum Cauchykriterium, welches auch für Epsilon<m ein passendes R finden will, ab dem jedes Integralstückchen kleiner als sein Epsilon (nicht zu verwechseln mit eps!) wird.
Paßt das zusammen mit der Erklärung vorher? |
Tim
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 07:15: |
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Hab die Aufgabe nochmal durchgelen und jetzt ist mir alles klar:-)
Vielen Dank |
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