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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 204
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 15:16: | 
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Hi
Wie löst man folgendes Integral:
ò-oo oo e^(-1/2*x^2) dx
Ich glaube das wurde hier im Forum schonmal irgendwo gelöst, ich find das aber leider nicht mehr;(
MfG
C. Schmidt |
PLU
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 21:06: |
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An die genauen Ergebnisse bzw. Zwischenschritte kann ich mich nicht mehr im Detail einnern (man wird halt alt...), aber vielleicht hilft Dir folgendes weiter:
Zuerst mal: Symmetrie ausnutzen: Integral (-unendl. bis +unendl) = 2*Integral(0 bis unendl.)
Danach: Möglichkeit 1:
Substitution z = x^2, also x = wurzel(z) und dx=dz/(2*Wurzel(z)) führt (wenn ich mich richtig erinnere) auf ein Integral, das die Gamma-Funktion darstellt. Also Gamma(???) müsste dann die Lösung sein
Möglichkeit 2:
Berechne Integral [e^(-x^2/2)] * Integral [e^(-y^2/2)] = Doppelintegral [e^(-(x^2+y^2)/2)] = (Transformation in Polarkoordinaten) = Doppelintegral(0 bis unendl. dr und 0 bis 2pi dphi) von e^(-r^2/2)*r = -2pi * e^(-r^2/2) [Grenzen einsetzen] = 2pi
Also gesuchtes Integral = Wurzel(2*pi)
Halt stopp: Symmetriefaktor, also folgt Integral = 2*Wurzel(2*pi)
[Doch noch hinbekommen; hätte ich mir fast nicht mehr zugetraut; ich hoffe es stimmt alles...]
PLU
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Joko
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 21:18: |
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Hallo Christian:
Das ist aber kein unbestimmtes Integral! |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 11:45: |
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Hi Plu,
dein Ergebnis ist nicht ganz korrekt.
Die Lösung ist:
j1=int[exp(-0,5x^2)dx]=Wurzel(2pi)
(Integral: untere Grenz -unendlich; obere Grenze +unendlich)
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Deine Erklärungen bei der Möglichkeit 1 sind im Prinzip korrekt. Ich will sie nur ergänzen:
Erstmal muß man die Symetrie ausnutzen-ganz richtig erkannt:
int[exp(-0,5x^2)dx]=2*int[exp(-0,5x^2)dx]
Grenzen(G) 1 Integral: uG=-uend.;oG=+unendlich
Grenzen(G) 2 Integral: uG=0;oG=unendlich
Um
int[exp(-0,5x^2)dx]
(untere Grenze(uG)=0 ; obere Grenze(oG) =+unendlich)
zu berechnen
Substituieren wir:
0,5x^2=t=>x=wurzel(2)*Wurzel(t)
dx/dt=Wurzel(2)/(2*wurzel(t)=>dx=(Wurzel(2)/(2*Wurzel(t)))*dt
Aus unseren Integral wird:
(Wurzel(2)/2)*int[exp(-t)*(1/wurzelt(t))dt]
(Integral: ug=0;og=unendlich)
Da gilt:
int[exp(-t)*(1/wurzelt(t))dt]=Gamma(0,5)=wurzel(pi)
(Integral:ug=0;og=+unendlich)
folgt:
int[exp(-0,5x^2)dx]=wurzel(2*pi)
(Integral: untere Grenze -unendlich;obere Grenze +unendlich)
w.z.b.w.
============================================
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 205
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 14:19: |
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Vielen Dank für die Antworten 
@Joko: Sollte eigentlich uneigentliches Integral heißen.
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 206
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 08:18: |
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Kann mir vielleicht noch einer erklären, warum die Gammefunktion an der Stelle 1/2 den Wert Wurzel(Pi) hat?
MfG
C. Schmidt |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 186
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 10:38: |
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In
Gamma(1/2) = int[0...oo]e^(-t)*t^(- 1/2) dt
substituiere
t = u^2/2 .
mfg
Orion |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 207
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 13:05: |
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Und dann??
Wie komm ich darauf, dass Gamma(1/2)=sqrt(Pi) ist?
MfG
C. Schmidt |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 187
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 13:46: |
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Dann hat man
Gamma(1/2) = sqrt(2)*int[0...oo]e^(- u^2/u) du
und dann ...: na ja, siehe oben !
Orion |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 15:36: |
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Hallo Christian,
die Integration ist nur über ein Doppelintegral zu schaffen, wie oben ausgeführt.
Ich habe es nochmal ausführlich zusammengefasst:
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 208
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 16:15: |
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Vielen Dank
Das hier hab ich noch gefunden, aber nicht ganz verstanden. Müsste aber ohne Doppelintegral sein:
http://www.mathe.braunling.de/Gammapi.htm
MfG
C.Schmidt |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 16:20: |
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Hi Christian,
es gäbe da noch eine andere Beweismöglichkeit für Gamma(0,5)=sqrt(pi) .
Dieser Beweis funktioniert über Limesdarstellungen der Gammafunktion und dem wallischen Produkt.
Auf wunsch führe ich den Beweis.
Gruß N.
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N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 16:26: |
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Hallo Christian,
der Beweis auf der Seite die du dort angibst, ist prinzipiel der, den ich dir vorführen wollte...
Der Herr Braunling spricht nur nicht z.B. vom wallischen Produkt etc...
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 209
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 14:49: |
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Hi N.
Ich hab mal noch ein paar Fragen zur Gammafunktion und zu dem Beweis:
1.Bei dem Link, den ich angegeben habe, habe ich eine Umformung nicht verstanden.
Das steht:
Kürzt man den Bruch auf der rechten Gleichungsseite nun mit 2k*k!, so erhält man im Nenner eine wohlbekannte Form. Es ergibt sich daraus...
Wie kommt man drauf, dass
2^(2k)*(k!)^2/(2k)!=2^k*k!/(1*3*5*...*(2k-1)) ist?
2.
Wieso ist
G(x)=ò0 oo e^(-t)*t^(x-1) dx=lim(n->oo)(n!*n^x)/(x(x+1)*...*(x+n))
?
Vielen Dank schonmal
MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 211
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 15:14: |
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Statt dx soll das natürlich dt heißen bei dem Integral ;)
MfG
C. Schmidt |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 22:49: |
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Hi christian,
nur soviel zur später Stunde:
zu 1]
Kann ich dir im Moment auch nicht auf die schnelle Erklären.
Ich finde die Rechnung, die Herr Braunling an jener Stelle vorschlägt für etwas undurchsichtig und umständlich.
Nähers dazu vieleicht Morgen-ich denke das die Umformungen aber mit dem wallischen Produkt zu tun haben.
zu 2]
Die Herleitung der Limesdarstellung der Gammafunktion ist etwas schwierig.
Die Darstellung beruht auf der Tatsache, dASS DIE Gammafunktion "logarithmisch konvex" ist.
Nähere Infos ebenfalls später....
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 213
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 11:08: |
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Hi N.
1) habe ich jetzt verstanden. Wenn man im Zähler einfach mal die 2^k mit k! multipliziert erhält man:
1*2*2*2*3*2*...*k*2=2*4*6*...*2k
Und das sind dann halt alle geraden Zahlen von (2k)!.
Bleibt also nur noch 2)
MfG
C. Schmidt |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 11:20: |
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Hi Christian,
es folgt eine Beweisskizze für 2]:
1)Der Satz v. H. Bohr:
Es sei F(x):R+ ->R+ eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
a) F(x)
b)F(x+1)=x*F(x)
c) F(x) ist logarithmisch konvex
dann gilt F(x)=Gamma(x) für alle x Element R+
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das Die Gammafunktion Eigenschften a)bis c) besitzt setze ich voraus.
Aus Eigenschft b) folgt:
F(x+n)=F(x)*(x+1)*...*(x+n-1)
für alle x > 0 und alle n >= 1 (n Element N)
hieraus folgt bekanntlich
F(n+1)=n! für alle n Element N
Es genügt zu zeigen F(x) ist für 0=<x=<1
eindeutig bestimmt ist.
Wegen
n+1=(1-x)n+x(n+1)
Aus der logarithmischen Konvexität folgt:
F(n+x)=<[F(n)]^(1-x)*[F(n+1)]^x=[F(n)]^(1-x)*[F(n)]^(x)*n^x=(n-1)!n^x
aus
n+1=x*(n+x)+(1-x)*(n+1+x)
folgt
n!=F(n+1)=<[F(n+x)]^x*[F(n+1+x)]^(1-x)=F(n+x)*(n+x)^(1-x)
Kombiniert man beide Ungleichungen erhält man.
n!*(n+x)^(x-1)=<F(n+x)=<(n-1)!*n^x
durch weitere Umformungen erhält man:
F(x)=lim(n->¥)=(n-1)!*n^x/(x*(x+1)*...*(x+n))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Da lim(n->¥)n/(x+n)=1
folgt die Gaußsche Limesdarstellung aus der oben skizzierten Herleitung für 0<x<1 .
Es wäre nur noch zu zeigen:
Gilt die Formel:
Gamma(x)=lim(n->¥)(n!*n^x)/(x(x+1)*...*(x+n))
für ein x, so gilt sie ebenfalls für y=x+1
Dies kannst du leicht selbst in 3 Zeilen Zeigen:
Hinweis:
Gamma(y)=Gamma(x+1)=x*Gamma(x)
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 214
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 13:34: |
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Hi N.
Vielen Dank für den Beweis. Ich bin leider noch Schüler und weiss nicht, was logarithmisch konvex bedeutet. Kannst du mir das noch erklären(wenns nicht zu lang ist)?
MfG
C. Schmidt |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 13:52: |
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Hallo Christian,
ich bitte um Verständnis darum, dass die Erklärung für "logarithmische Konvexität" bis Morgen Nachmittag warten muss.
Ich bin bis dahin hoffentlich mit den notwendigen Ausarbeitungen Fertig.
Anbei werde ich Beweisen das die Gammafunktion wirklich logarithmisch Konvex ist.
Bitte um noch etwas Geduld!
Gruß N.
PS:
Ich bin ebenfalls noch Schüler!(Mathe LK 12. Klasse) |
Niels (niels2)
Neues Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 14:53: |
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Hi Christian,
nun zur logarithmischen Konvexität:
Definition:
Sei I ein Intervall aus R.
eine positive Funktion F:I->R+ heißt "logarithmisch konvex" wenn die Funktion logF:I->R+ konvex ist.
oder
Definition:
F ist genau dann logarithmisch konvex, wenn für alle x,y Element I und 0 < k < 1 gilt:
F(k*x+(1-k)*y)=<[F(x)]^k*[F(y)]^(1-k)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Beweisskizze:
y=Gamma(x) ist logarithmisch konvex.
Beweis:
Seihen x,y Element R+ und 0 < k < 1
dann gilt:
p=1/k; q=1/(1-k)
=>1/p + 1/q = 1
Mann wende auf die Funktionen
f(t)=t^(x-1)/(p*e^(1/p))
g(t)=t^(y-1)/(q*e^(1/q))
die Hölderschen Ungleichungen an.
Nach Grenzwertübergängen bei den Integralen etc.
ist damit die logarithmiche Konvexität gezeigt.
Diese Informationen müssten ausreichen...
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 217
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 16:17: |
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Vielen Dank
MfG
C. Schmidt |
a
